Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим еще один пример, приводящий к уравнению типа
(3.1): колебания тела, находящег оя под воздействием кулоновского трения.
В этом случае приходим к расвмотрению уравнения •
¦d*x+kxt=—A sign(^0, (3,27)
т -
*) F. Prasil, Schweiz. Bauz. 52, 334 (1908).
**) Заметим, что такую же приближенную формулу эмпиричес* A. de Caligny, Recherches sur les oscillations de l’eau, 1 Versailles, p
СЛУЧАЙ НЕЛИНЕЙНОГО ТРЕНИЯ
67
Таблица 4
(2««)т0, (2аа)пр (2ад) точ (2аа)Пр (2аа)точ (2аа)ир
1,0000 1,0000 0,1570 0,1578 0,0854 0,0856
0,5936 0,6000 0,1420 0,1428 0,0808 0,0810
0,4240 0,4285 0,1298 0,1304 0,0767 0,0769
0,3301 0,3332 0,1194 0,1200 0,0730 0,0731
0,2704 0,2726 0,1106 0,1111
0,2290 0,2307 0,1030 0,1034
0,1986 0,1999 0,0964 0,0967
0,1753 0,1764 0,0906 0,0908
где
1, если ^7 > О,
sign
(?)" *•, <3-28>
4 1 — 1, если < 0.
Сопоставляя уравнение (3.27) с (3.1), имеем:
SF(l)“-SsiS”(w)- (3-29)
Следовательно, при а>0 получаем:
2л
г ^ F (а (о cos ф) cos ф йф =
3-к
2к ~2 2п
= -А
| С cos ф йф — ^ со s ф йф + ^ cos ф йф j- = — АА ^ cos ф йф = — 4А.
О те Зтс О
2 Т
Далее, при а = 0
2я
s ^ F (аш cos ф) cos ф йф = 0.
о
Поэтому согласно (3.5) в первом приближении для мгновенной
амплитуды можем написать уравнения:
da 2А
, — , если а > 0;
dt it то»
~ = О, если а = 0.
at
(3.30)
Интегрируя уравнение (3.30) при начальных значениях ? = 0, а = а0, находим:
* = 0 при t > ао
(3.31)
68
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. I
Согласно (3.31) очевидно, что при кулоновском трении колебания совершенно затухнут, начиная с момента времени t=t, где
- пта> tz=~2A~ao-
§ 4. Автоколебательные системы
Рассмотрим еще колебательную систему, описываемую уравнением
вида
g + ^ = (4.1)
которое также является частным случаем уравнения (1.1).
Заметим, что ранее рассмотренное уравнение (3.1) может быть приведено к виду (4.1).
В самом деле, полагая
dx
di = y
и дифференцируя уравнение (3.1), получаем:
m^ + ky = sF’ {у)%.
Сопоставляя уравнение (4.1) с (1.1), имеем:
поэтому, для того чтобы воспользоваться формулами (1.21) — (1.28), необходимо разложить в ряд Фурье выражение
f(a cos ф) aw sin ф.
Для упрощения этой операции рассмотрим функцию
X
F*(x)=\f(x)dx (4.2)
о
и разложение в ряд Фурье:
ОО
F*(a соэф)= 2 Fn{a) cos/гф. (4.3)
п—О
Дифференцируя (4.3) по ф, на основании (4.2) получим:
ОО
/ (a cos ф) аш sin ф =* wnF%(a) sinnty. (4.4)
n=О
Сопоставляя (4.4) с (1.16) и (1.17), находим:
^1(a) = AFl*(a)) В1(а) = 0, (4.5)
откуда в первом приближении имеем:
х = a cos ф,
4] АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 69
где а и ф должны удовлетворять уравнениям
d?-}Pt(a), dip
~di~ ш'
(4.6)
Для построения второго приближения можем воспользоваться результатами предыдущего параграфа.
Исходя из выражений (3.2), (3.6), (3.7), (3.8) и (4.4) и учитывая,
что
— ^ / (a'cos ф) cos ф sin ф йф = О,
о
If,, 2,7, dFf (а)
— \ / (a cos ф) cos ф аф = - 1 w
можем написать:
da
^acost + ^2 "К"* ¦ («>
71 — 2,
где а и ф определяются уравнениями
?=т^»’
^ = ш + ?252 (а),
(4.i
а В2 (а) имеет следующий вид:
ОО
т> /_ 1 р*/_\ dF* (а) 1 n2F*2 (а) q.
В*(а1 = -8^Pi(a)—di---------WZj
п= 2
Сопоставляя полученные приближенные решения с решениями уравнения (3.1), найденными в предыдущем параграфе, убеждаемся в их полной идентичности.
Таким образом, система, описываемая уравнением (4.1), также является квазиизохронной.
В качестве примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля:
J-e(l-^)g + , = 0. (4.10)
Сопоставляя (4.10) и (4.1), имеем:
/ (х) = 1 — х2,
и потому
F* (х) = х — у , после чего находим разложение (4.3) для нашего случая:
F* (a cos ф) = а (^1 — cos ф — cos Зф,
70
КОЛЕБАНИЯ Б СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
*Гл. I
согласно которому получим:
Fr(a) = a(l-?), F*(«) = ‘-g,
(4.11)
F* (а) = 0, если пф 1, пфЗ.
Таким образом, учитывая (4.6), в первом приближении имеем:
х = a cos ф, (
где а и ф должны быть определены из системы уравнений:
da еа
еа
(4.12)
dt 2
(4.13)
J* — -1*
dt
Итак, в первом приближении получаем гармоническое колебание, обладающее постоянной частотой ш = 1, амплитуда которого изменяется в соответствии с первым дифференциальным уравнением системы (4.13). Чтобы найти в явном виде закон зависимости амплитуды колебания от времени, необходимо решить это уравнение. Умножая обе его части на а, имеем:
Подставив (4.16) в (4.12), имеем выражение для первого приближения в явном виде:
Как видно из (4.17), если начальное значение амплитуды а0 равно нулю, то амплитуда останется равной нулю для любого t, и мы полу-
(4.14)
откуда
или
что дает
(4.15)
где а0 — начальное значение амплитуды. Из (4.15) окончательно находим:
а
(4.16)
(4.17)
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
71
чим х = 0, т. е. тривиальное решение уравнения Ван-дер-Поля. Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, т. е. отсутствию колебаний в системе.
Однако, исходя из зтой же формулы, нетрудно заключить, что этот ¦статический режим неустойчив. Действительно, как бы мало ни было начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно возрастать, приближаясь к предельному значению, равному 2. Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с нарастающей амплитудой, т. е. -система самовозбуждаетея.
