Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В результате приходим к следующим окончательным формулам: первое приближение
ж.,. = a cos ф, 1
^(а)==лМ. I (2-21)
та
второе приближение
, pQ (а) 1
Жп= осозф—^-^-4- x2j
Ро («) , 1 XI Рп («) COS nfy
kZi п2 — 1 n=2
dpn(a)
Рп ia)
(«)-»;(«) + ^ 2 n,_t----2 р, («) ** М- -1
Как видно, слагаемое
da тка 71=2
1
I
I (2.22)
I
J
тка (п2— 1)
представляет влияние п-й гармоники на собственную частоту, а слагаемое
dp0(a)
W ST
тка
появляется за счет смещения рабочей точки на характеристике в связи с наличием в колебании постоянного члена
Ро (а)
54
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ. БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. Т
В частном случае симметричных колебаний, когда упругая характеристика системы Fs = р (х) симметрична *) относительно начала координат, так что значения Fs для ± х равны по величине и противоположны по знаку
р(х)= -р(-х),
все четные гармоники в разложении (2.17) исчезают и формулы (2.22) принимают вид
ОО Л
°° р (a)dp™+l(a) j* ^2'23^
2 , х ,, v . 1 V ?2n+l(a) dT~
шп(а^ Ш1 (a)+m*a Zl (2л+1)8 — 1 '
п —1 )
Наконец, освободимся также от параметра з в выражениях для максимального и минимального отклонения.
Из (2.13) и (2.18) находим:
о° л
г -п- Ра^ 4-1 V Рп(а)
Птах к 1” к re2 —1 ’
n=2 J, (2.24)
_____- Po(a) | 1 VI (-i)nPn (a) I
II min “ к i Zl re2 — 1 '
n=2 I
Чтобы получить представление о практической эффективности найденных приближенных формул, рассмотрим некоторые числовые примеры, для которых известно точное решение.
Рассмотрим уравнение свободных колебаний математического маятника с массой т и длиной I без учета трения:
ml[F +-fsina; = 0> (2-25)
где х — угол отклонения маятника от положения равновесия.
В данном примере
р (х) = у sin х
п разложение (2.17) будет:
СО
р (a cos ф) = у 2 ^ ( - 1)” Лп + 1 («)cos (2,г + !) Ф
71=0
(Jk (а) — функции Бесселя).
*) В большинстве практически важных случаев упругая сила симметрична. Несимметричность кривой Fs = p(x) обусловливается, например, действием постоянной силы.
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ЛИНЕЙНЫМ
55
Согласво (2.21) и (2.23) находим: в первом приближении
а ’ >
(2.26)
во втором приближении
СО
хи = a cos ф + 2 ^
( — l)7*./2П+1 (а) COS (2п -f- 1) ф (2п -f- I)2— 1
Jin* 1 (a)J2n+l (а) (2гс + 1)2 —1
I
В частности,
СО
Хъ = а, I max ’
( 1уг^2п+1 (а)
. (2« + 1)2-1 '
(2.28)
Рассматривая жтах и ш как функции амплитуды первой гармоники
подсчитаем их приближенные значения для ряда возможных значений а.
Ввиду весьма быстрой сходимости рядов, стоящих в правых частях выражений (2.27) и (2.28), достаточно при подсчете учитывать в них лишь первые два члена.
Далее, для оценки точности полученных решений (2.28) подсчитаем по таблицам эллиптических функций соответствующие значения (2.29) с помощью точных формул (для тех же значений а):
здесь, как принято в руководствах по теории эллиптических функций, к— модуль, К — полный эллиптический интеграл первого рода,
_ К^_ _____
q = е к , а К' (к) = К (к'), где к' = у 1 — к2.
Результаты вычислений сведены в табл. 1, в которой имеется также графа, указывающая точные жтах в градусах.
Результаты вычислений свидетельствуют о вполне удовлетворительной точности, в особенности если принять во внимание, что наши приближенные формулы выведены в предположении, что упругая характеристика восстанавливающей силы обладает «слабой» нелинейностью — близка к прямолинейной. В рассматриваемом примере даже при углах отклонения маятника около 160° относительная погрешность первого приближения частоты составляет 5,5%, а второго — всего около 3%, хотя очевидно, что в пределах от — 160° до + 160° синус весьма плохо
(2.29)
56
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
|Гл. I
аппроксимируется прямой. При колебаниях маятника в пределах примерно от —30 до +30° первое приближение частоты дает четыре точных знака, а для углов между ± 45° второе приближение дает пять точных знаков. Следовательно, там, где характеристика действительно близка к линейной, полученные приближенные формулы обладают высокой степенью точности.
Таблица 1
XI max а xll max жтах " I “ 0 " II “ 0 “ 0 •Y’O ¦*' max
0,2 0,19996 1,19996 0,99751 0,99751 0,99751 11°27'25"
0,4 0,39966 0,39968 0,99002 0,99003 0,99003 22°53'46"
0,6 0,5988 0,5989 0,97759 0,97763 0,97763 34° 18'52"
0,8 0,7972 0,7973 0,9602 0,96040 0,96040 45°40'55"
1.0 0,9944 0,9946 0,9381 0,93847 0,93846 56°59'11"
1-2 1,1900 1,1906 0,9113 0,91201 0,91198 68°12'59"
1,4 1,3835 1,3846 0,8799 0,88122 0,88114 79°19'54"
1,6 1,5743 1,5763 0,844 0,8463 0,8461 90°18'55"
1,8 1,761 1,764 0,804 0,8076- 0,8072 101°07'3г7"
2,0 1,943 1,951 0,759 0,7654 0,7646 11Г47'03*
2,2 2,118 2,132 0,711 0,7200 0,7185 122°09'17"
2,4 2,283 2,307 0,658 0,6719 0,6698 132°10'53"
2,6 2,432 2,476 0,602 0,6216 0,6138 14Г5Г52"
2,8 2,558 2,635 0,541 0,5699 0,5610 150°58'28"
3,0 2,642 2,783 0,475 0,5179 0,5023 159°27'15"
Ухудшение точности для углов, близких к 180°, объясняется тем, что это значение является критическим: при переходе через него изменяется характер движения — колебания сменяются вращением.
