Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
А = av.
Для данного jравнения
f dx \ dx
и потому
dt J dt
Fy (аш) = — ша,
Fn (ао) = 0 (п = 0, 2, 3, ...).
Таким образом, согласно (3.8), (3.9) и (3.10) получим сразу во втором приближении:
х = a cos ф, da \а
dt 2 ,
^ Г \ (3-12)
dt
Как видно из первого уравнения (3.12), для закона затухания амплитуды получается полное совпадение с точной формулой
и
а = а0е
а для частоты колебаний имеем приближенную формулу
(o2 = o,{l-{Q)2} , (3.13)
которая соответствует двум первым слагаемым в разложении точного
64
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. I
выражения для частоты
I1-!
2______1_ f
128 V «>
+
по степеням — , что, впрочем, совершенно естественно, так как мы не
учитываем членов выше второго порядка малости.
Чтобы составить себе представление о степени точности полученной приближенной формулы (3.13), возьмем, наприиер, . Заме-
тим, что это значение коэффициента X соответствует весьма значительному затуханию. Так за один период амплитуда колебаний уменьшается
cL эс
в два раза. По абсолютной величине «возмущающий член» X— дости-
d4
гает еще примерно х/4 «главных членов»: или ш2ж. Несмотря на это,
относительная погрешность формулы (3.13) оказывается меньше чем 0,01%.
Рассмотрим еще один простой пример, приводящий к уравнению типа (3.1): гармонические или вообще малые колебания маятника в среде, сопротивление которой пропорционально второй степени скорости и мало. В этом случае уравнение колебаний будет:
d2x dt* d?x dt2
+ <*
dx dt dx \2 dt )
-J- ш2ж = 0, если 4т- > 0,
2-v. —.
или
-ш*х
dx
dt
0, если ~ < 0,
dt2 * dt
dx
dt
+ ш2х = 0,
(3.14)
(3.15)
где, как всегда, I ~
dx
обозначает абсолютную величину-5-. (Мы при-
бегаем к такой записи, чтобы отметить, что член
собой сопротивление движению.)
Считая затухание достаточно слабым, положим
dx
dt
dt
представляет
а = зм.
Тогда уравнение (3.15) будет уравнением вида (3.1), причем
dx
"*~dt
dx
dt
Находим выражение п-то члена в разложении Фурье для F (а соэф):
7С TZ
2 С 2va2 С
Fn (а) = — \ F (a cos ф) cos яф йф = — - \ | cos ф | cos ф cos ?гф е(ф =
2ча2
СЛУЧАЙ НЕЛИНЕЙНОГО ТРЕНИЯ
65
откуда
Fo (а) = (а) = Fi (а) = ... = F4 (а) = ... = О,
Z7 /„\ _ 8v®3 V !„\ _ (—1)9+1
Зп ’ 2<2+1 W (2g + l) [(2д + 1)г —4]
(g = 0, 1, 2, ...).
Таким образом, согласно (3.8), (3.9) и (3.10) второе приближение можем написать в виде
ОО
х__ „ л, 8аа2 ^ ______________________sin (2q -f 1) ф
. оаа“
= а cos ф - — 2j
= a cos ф — ^ -j^sin Зф sin 5ф + .. . j- > (зл6)
(2g + l) [(2д+ 1)2 — 1] [(2?+ 1)2-4]
9=1
где а и ф определяются уравнениями:
da 4а® 2
dt Зя а ’
§-.{t-^С};
здесь для сокращения обозначено:
ОО
С = 8% 1
(3.17)
[(2q + I)2 — 1] [(2q + 1)2 — 4]‘2 9=1
= 25+ 1323 + 12Т50 + = 0,0407. . . (3-18)
Интегрируя первое уравнение (3.17), имеем:
!_± = ^г( (3.19)
а а0 Зтс ' '
откуда находим закон затухания амплитуды основной гармоники коле-
бания:
а=-----^----. (3.20)
1 + ^t У
оп
Таким образом, амплитуда колебаний при квадратичном законе затухания затухает приблизительно обратно пропорционально увеличению линейной функции времени.
Подставив выражение (3.20) во второе из уравнений (3.17) и инте-грируя, получим закон вращения фазового угла:
ф-щ-gajl- I I + V (3.21)
I 1+—s—
Итак, имеем явные выражения для представления колебательного процесса во втором приближении.
Заметим, что поправочные члены второго приближения весьма малы
з
даже при значительном затухании. Так, если взять aa0 = -g-, т. е. рассматривать случай, в котором амплитуда а через один цикл после начала колебаний уменьшается в два раза, то сумма амплитуд всех
66 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ ЦГл. I
обертонов колебания будет составлять менее 1% от амплитуды главной гармоники, а поправка второго приближения для частоты колебаний будет менее 0,25%.
Сопоставим теперь полученное приближенное решение с точным. Уравнение (3,15) может быть проинтегрировано до конца. Действительно, полагая при г = 0, ж = жо>0, ^? = 0, находим:
*о
.... dx :¦ —, = (3.22)
;>У( 1 + 2ах) — (1 + 2ах0)е-2л^-х°) V 2а
Ввиду того, что правая часть является трансцендентной квадратурой, искомую функцию х нельзя представить с помощью элементарных функций. Однако нетрудно установить уравнение для двух последовательных амплитуд, затухающих из-за наличия трения, пропорционального квадрату скорости. Следуя F. Prasil’ro*), имеем:
(2аЖ1 + 1) — 1п(2ажх+1) = (2ажхх+ 1) — In (2агц + 1), (3.23)
или в наших обозначениях
(2а а0+ 1) — In (2аа0-|- 1) = (2аа1-|- 1) — In (2аах+ 1), (3.24)
где а0 — начальное значение амплитуды, а1 — значение амплитуды по истечении одного периода колебания.
Для того чтобы сравнить результаты, полученные по точной формуле (3.24) и приближенной (3.19), преобразуем формулу (3.19). Очевидно, ее можно представить в следующем виде:
1 1 2шг. (3.25)
2аа 2аап Зге
Подставляя в правую часть значение периода в первом приближении, получим следующее соотношение, связывающее между собой две последовательные амплитуды**):
2аа1 ~ "3" * (3.26)
Приводимая ниже табд. 4 показывает хорошее совпадение последовательных амплитуд, рассчитанных по точной формуле (3.24) и приближенной. Для 2аа0 = 1, т. е. в случае, когда амплитуда через полуцикл уменьшится до 0,6 своего значения, результаты по формуле (3.26) (которая характеризует только первое приближение) отличаются от точных результатов по формуле (3.24) только на 1%; для случая же 2аао = 0,1 — на 0,4%.
