Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= 6 2 (а) cos /v2 (a) Sin чф],
----—/(а совф, — aw sin ф) cos ф =
= s 2 [/$ (a) cos ^ + /v2 (a) sin 7ф].
(2),
(1.44)
Согласно вышеизложенному форма приближенного решения системы уравнений может быть определена из следующих соображений. Так как а и 0 — медленно изменяющиеся величины, представим их как суперпозицию плавно изменяющихся членов а и 0 и суммы малых вибрационных членов. В первом приближении положим
или
da
а=я, 9 = 6 (ф = 0)2 + 0).
Тогда
da
dt
dt
f (а соэф, — aw sin ф) sin ф =
= ® 2 ^ И cos + /vV (a) sin чф],
8 2 («) созуф + Дг’^эт^ф],
= s/0" (a) + малые синусоидальные колебательные члены,
= ccs ф, — aw sin ф) cos ф =
am
dt
J-
= s/^’(a) •+малые синусоидальные хюлебательные члены. |
(1.45)
(1.46)
(1.47)
Считая, что эти синусоидальные колебательные члены вызывают лишь малые вибрации а и 0 около их первых приближений а и о
48
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. I
и не оказывают влияния на систематическое изменение а и 9, приходим к уравнениям первого приближения в виде
da
dt
= г/^’ (а) — М | / (a cos <]>, — аю sin ф) sin ф | ,
— ~fn (а) = М i —J-f (a cos ф, — дао sin ф) cos Ф i , t I am ' 1 J
(1.48)
где M — оператор усреднения при постоянных а и 0 по явно содер-t
жащемуся времени.
Нетрудно видеть, что полученные уравнения (1.48) для а и б совпадают с ранее найденными уравнениями первого приближения.
Действительно, произведя усреднение и введя вместо б полную фазу колебаний ф, получим:
2к
\ /(acos<b — жоэтф^тфсгф,
О
271;
tfdl ? Т- = <0----------------------------
^/(асоэф, — асо sin ф) cos ф с?ф.
dt 2 ка
О
Для получения второго приближения необходимо принять во внимание в выражениях для а и 0 также и вибрационные члены. Учитывая в (1-47) члены е/й (a) cos уф, еДг (а) sin уф (г = 1, 2), как вызывающие
в а и 0 колебания вида
ssinvdi ,(i) . s COS vd) (j) . .. ,
—7^/vi(«). —7-^/«(а) (i = 1,2),
приходим к следующим приближенным выражениям:
а = а + е 2 v t/vV («) sin уф — /$ (a) cos уф],
ЧфО
б = 0 + s 2 -у [/vi (a) sin уф — /^ (a) cos уф],
V=jfcO
(1.49)
которые соответствуют улучшенному первому приближению. Подставляя значения (1.49) в правую часть (1.38), получаем с точностью до величин первого порядка малости включительно выражение (1.25).
Для получения уравнений второго приближения, определяющих а и 0 с точностью до величин второго порядка малости включительно, необходимо значения (1.49) подставить в правую часть уравнений (1.48) и результат усреднить по явно содержащемуся времени.
Приведенным выше рассуждениям можно придать более обоснованную форму. Для этого необходимо выражения (1.45), (1.49) и т. д. рассматривать как замену переменных в исходной системе дифференциальных уравнений, приведенной к стандартному виду. Однако на этом вопросе остановимся более подробно в конце книги.
Заметим только, что изложенный метод усреднения дифференциальных уравнений, приведенных к стандартному ' виду, очень облегчает применение методов нелинейной механики для построения приближенных решений систем нелинейных дифференциальных уравнений.
§ 2]
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ЛИНЕЙНЫМ
49
В настоящем параграфе нами изложен метод построения приближенных решений для уравнений типа (1.1). Не представляет, однако, никаких затруднений распространить его и на уравнение вида
Здесь правая часть уравнения имеет более сложную зависимость от s. Ввиду отсутствия каких-либо существенных особенвостей мы не будем детально останавливаться на последнем уравнении, а перейдем к подробному рассмотрению различвых частных случаев, встречающихся на практике.
В качестве частного случая уравнения (1.1) рассмотрим свободные псевдогармонические колебания без затухания некоторой массы т, т. е. колебания, описываемые уравнением вида
между упругой силой и перемещением является нелинейной.
Предположим, что [эта нелинейность достаточно «слаба», так что можно положить
Тогда уравнение (2.1) будет принадлежать к рассмотренному типу, причем
где s — малый положительный параметр.
Для построения первого приближения рассмотрим разложение Фурье для функции <5(acos<j)). Так как эта функция является четной, то в ее разложении в ряд Фурье синусы будут отсутствовать:
(1.50)
где
§ 2. Консервативные системы, близкие к линейным
+ /»(*)=’ °>
(2.1)
в котором зависимость
Fs = р (х)
Р (х) = /cx-j-гф (х).
(2.2)
(2.3)
ОО
Ф(асозф)= ^ Сп (а) cos гаф.
(2.4)
71=0
Отсюда на основании (1.16) и (2.3) получим:
откуда находим:
(2.5)
50 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ [Гл. I
Таким образом, учитывая (1.23), (1.24), в первом приближении имеем:
xi = a cos ф, где а и ф определяются уравнениями
da п dh вСх (а) , .
_ = 0> йг “ + -2^ = №1 («) (2-6)
(значок внизу у х и ш (а) указывает номер приближения).
Из первого уравнения системы (2.6) следует, что амплитуда колебания не зависит от времени и сохраняет свое начальное значение
а = а0 — const.
Ввиду постоянства а из второго уравнения (2.6) получаем:
ф =u>t (а)г + 0,
где 9 — фазовая постоянная, равная начальному значению фазы ф.
