Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся теперь на исследовании небольших колебаний маятника. В этом случае можем в уравнении (2.25) sin а; заменить двумя или тремя (в зависимости от того, на каком приближении собираемся остановиться) первыми членами тейлоровского разложения*).
Получим:
™5?-+-f V°- (2-31)
dt2 т / V 3! ' 5!
Применив к этому уравнению формулы (2.21), находим (ограничиваясь двумя членами в разложении для синуса):
хг = a cos ф, о)2 (а)
1--V, (2.32)
*) Заметим при этом, что разность
х3
smi-| х— ,
по абсолютной величине не превзойдет 0.0JU326, если х колеблется между —30° и 30°, а разность
. х° х°
sm®—( ж — -3Т + -57
не превзойдет 0,000002.
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ЛИНЕЙНЫМ
57
откуда
°>1 (а)
„0 ЛЧг^-тв-- (2-33>
Из формулы (2.33) непосредственно видно, что при увеличении амплитуды колебания маятника частота уменьшается, а период собственных колебаний
г, = -^~Ч1+-пи Р-34»
‘-те _
увеличивается. ^Здесь Т0 = = 2тс j/"-
Для построения решения во втором приближении воспользуемся формулами (2.23); тогда, учитывая в разложении для sin я также
член -jrj- , получим:
хи = a cos ф — (1 + 64 cos Зф + 20480 C0S
'II (а) __ ^ а2 , За4
откуда
512 ’ (Ojj (а)
(2.35)
/п = У,
Для максимальных отклонений согласно (2.24) имеем:
ХП max_ а 192 1024 ‘ (2.38)
При помощи полученных формул можно подсчитать частоты, периоды и максимальные отклонения для ряда значений а (амплитуды первой гармоники). Результаты вычислений приведены в табл. 2.
Таблица 2
Ж1 max а XII max “ I ш 0 “ II ш о II Та Til То
0,2 0,19996 0,99750 0,99750 1,00250 1,00250
0,4 0,39966 0,99000 0,99003 1,01000 1,01008
0,6 0,5988 0,97750 0,97763 1,02250 1,02288
0,8 0,7970 0,9600 0,96040 1,0400 1,04120
1,0 0,9938 0,9375 0,93848 1,0625 1,06543
1,2 1,1886 0,9100 0,91203 1,0900 1,09607
1,4 1,3805 0,8775 0,88125 1,1225 1,13376
1,6 1,5684 0,840 0,8464 1,160 1,1792
1,8 1,751 0,798 0,8078 1,203 1,2333
2,0 1,927 0,750 0,7656 1,250 1,2969
2,2 2,094 0,698 0,7204 1,303 1,3711
2,4 2,250 0,640 0,6724 1,360 1,4572
2,6 2,392 0,578 0,6221 1,423 1,5564
2,8 2,518 0,510 0,5700 1,490 1,6701
3,0 2,622 0,438 0,5166 1,563 1,7998
58 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ [Гл. I
Сопоставляя табл. 2 с табл. 1, легко видеть, что для отклонений маятника, не превышающих ± 35° (в этих пределах частоты и максимальные отклонения совпадают с точными соответственно до 5-го и 4-го знака включительно), с успехом можно рассматривать уравнение (2.31) и соответствующие ему более простые приближенные решения (2.32) и (2.35) вместо точного уравнения (2.25). При больших же углах отклонения (порядка + 160°) относительная погрешность первого приближения
•составит 13%, а второго всего около 3%.
При рассмотрении свободных колебаний маятника мы не учитывали сил трения.
Если предположить, что колебания маятника затухают под воздействием сил, пропорциональных скорости, то приходим к исследованию •следующего уравнения:
mS-+xw+rsinx-°’ (2-39)
или для небольших отклонений:
»|-?+>-1’+т(а=-4)-(>- <2-40>
Согласно общим формулам § 1 в первом приближении решение уравнения (2.40) будет:
ж —a cos ф, (2-41)
где а и (]) должны быть определены из системы уравнений первого
приближения:
da
ПТ= ~оа’
** п 1 (2-42)
здесь введены обозначения 6 = -^, ш — j/'i .
Интегрируя первое уравнение системы (2.42) при начальных значениях t = 0, а = а0, находим:
а = айе~и. (2.43)
После этого из второго уравнения системы (2.42) получаем:
ф = <о {* (е~ги — i)} + 0, (2.44)
тде 0 —начальное значение фазы.
Подставляя значения амплитуды (2.43) и фазы (2.44) в формулу (2.41), получим первое приближение в виде
с—5 г
cos
{ш [^+—(6-2^-!)] +0} . (2.45)
Таким образом, в первом приближении колебания будут затухающими, с частотой, зависящей от амплитуды ш = ш(а), причем с увеличением времени вследствие постепенного затухания мгновенная частота будет увеличиваться, стремясь в пределе к постоянному «линейному»
.значению частоты ш = ^ .
§ 2]
консервативные системы, близкие к линейным
59
Рассмотрим теперь колебания системы, для которой характеристика восстанавливающей упругой силы имеет вид
р (х) — ах уж3 (я > 0, у > 0). (2.46)
В этом случае получаем нелинейное дифференциальное уравнение
d“x
т
dt2
+ ах + \xs — 0,
(2.47)
которое может быть проинтегрировано в явной форме с номощыо эллиптических функций. Следовательно, здесь можно также сопоставить приближенным решениям точные.
Так как для этого случая разложение (2.17) будет:
р (a Cos ф) = ( аа-г-г уа3 ) cos ф +
cos Зф,
1/2
то, вводя безразмерные комбинации (т)
тши (2.21) и (2.23) можем написать: в первом приближении
/- « N 1 /2 /¦ ~ \*/2
( — I Xj = — a cos ф,
—V
во втором приближении
&, ,
на основа-
(2.48)
Хц :
/2
°11 (а)
“I (а)
a cos ф +
! +
У:,
— ) cos 3^
32
«>о )
----4
•Vi)
128
Г “Л
Ч “о
(2.49)
откуда имеем:
1/2
1/2 — ) х
II max
32
Точные значения
Жтах И — ДЛЯ ДЭННЫХ <»о
\ П )
(2.50)
а найдем по
таблицам эллиптических функций с помощью формул
ж(ф, а) = жтахсп |~ф| =а;тах^ { cos ф + cos Зф + ... | , (2.51)
