Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 24

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 138 >> Следующая

Из (4.17) также замечаем, что если а0 = 2, то а = 2 для любых ./ > 0. Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:
х = 2 cos (t + б). (4.18)
В отличие от статического динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся н том, что каково бы ни было значение а0 Ф 0, малое или большое, все равно a(t)~^ 2 при t—> со.
Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию (4.18).
Заметим, что только в первом приближении можно представить стационарный режим (4.18) как гармоническое колебание с частотой ш = 1 и амплитудой, равной 2. В действительности же стационарный режим не гармонический.
Перейдем теперь к построению второго приближения. Согласно .(4.7), (4.8) и (4.11) находим:
в л 3
х = a cos Ф — 32* s*n ЗФ* (4.19)
¦где а и ф должны быть определены из уравнений
Для стационарных колебаний во втором приближении получим:
х = 2 cos (ш? б)—j sin3 (u>t + б), (4.21)
причем
На рассмотренном нами простом примере колебательной самовоз-буждающейся системы, описываемой уравнением Ван-дер-Поля, замечаем коренное отличие этой системы от колебательных консервативных ¦систем, описываемых уравнением вида (2.1).
Именно в консервативных колебательных системах, как мы видели .(см. стр. 51), возможны колебания с любой постоянной амплитудой, в автоколебательных же системах колебания с постоянной амплитудой возможны лишь при некотором определенном ее значении. Физически это ясно из следующего очевидного соображения. Поскольку в
(4.20)
72
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. I
консервативной системе нет ни рассеяния, ни источника энергии, то раз возбудившиеся колебания не могут ни возрастать, ни затухать, и их амплитуда остается равной ее начальному значению.
В самовозбуждающихся системах имеется рассеяние энергии и ее источник. Поэтому амплитуда колебаний будет возрастать, если количество энергии, доставляемой источником, превышает количество энергии, рассеиваемой диссипативными силами. Наоборот, если количество энергии, доставляемой источником, меньше количества рассеиваемой энергии, колебания будут затухать.
Постоянное же значение амплитуда будет сохранять только в том случае, когда оба упомянутые количества энергии точно уравновешивают ДРУГ друга.
Построим теперь приближенные решения для уравнения Ван-дер-Поля, воспользовавшись принципом усреднения.
Для этого необходимо уравнение (4.10) привести к стандартной форме. Это легко сделать, если вместо неизвестной функции х ввести две новые функции а и 6 посредством следующих формул замены переменных:
х = a cos (t -j- 0), (4.22)
-asin(* + 0). (4.23)
Дифференцируя (4t22) и сравнивая с (4.23), получаем:
cos (г+ 6) — a ^sin(? + 6) = 0. (4-24>
Дифференцируя (4t23) и принимая во внимание (4.22), (4.10), имеем: sin (t -|-6) -f а ^ cos (t + 6) = е [1 — a2 cos2 (t + 0)] a sin (t + 6). (4.25)
Разрешив соотношения (4.24), (4.25) относительно производных,
приходим к системе двух уравнений в стандартной форме:
^ = s [1 — a2 cos2 (t + 6)] a sin2 (t + 6),
^ = s [1 — a2 cos2 (t -|- 0)] sin (t -|- 6) cos (t + 0),
(4.26)
или
(4.27)
?=*{т(1-т)-т“а2(,+в)+5?“54((+9)}'
57 = * ~j') sm2(( + 9)-^sin4(l+e)}.
Применяя принцип усреднения, получаем в первом приближении
a = alt 0 =
1- d0x
2 I1 4 J ’ dt
причем
*-т). Чг = 0, (4.28)
так как
М {cos 2 (t + 0)} =* M{sin2 (?-f 0)} = M{cos4 (t -f- 0)} = M {sin 4 (t + 0)} = 0. t t t t
§ i]
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
73
Как видно, уравнения первого приближения (4.28) совпадают с полученными выше уравнениями (4.13).
Улучшенное первое приближение, очевидно, будет:
и, следовательно, для установившегося колебательного режима при аг = 2 формулы (4.29) улучшенного первого приближения дают:
-j- -j- sin 4 (t -j- Qy) J cos ^ t -f- 0-l -|" -j- cos 2 (t -j- 0^) -g- cos 4 (t -j- ^ , (4.31)
или, пренебрегая членами второго порядка малости, после элементарных преобразований получаем улучшенное приближение
которое совпадает с выражением улучшенного приближения, найденным нами ранее.
Прежде чем перейти к специальному рассмотрению стационарных амплитуд и их устойчивости, рассмотрим еще один классический пример автоколебательной системы —колебания часового маятника, возбуждаемого импульсами.
В этом случае имеем уравнение
где х0 — значение угла отклонения маятника, при котором на маятник посылается импульс I, о(х) — «несобственная функция», определяемая соотношениями:
(4.29)
Для стационарного режима, как и выше, имеем:
a(t)—>2 при ^-—> оо,
а, — 2 —2~ sin 2(t-\- Оу) -f- sin 4 (t -j- 9^),
0 = 6X -j- — cos 2 (2 + 0J -f- cos 4 (t -j- 0-l).
(4.30)
Подставляя эти значения в (4.22), получим:
Х-— Г 2 — y sin 2 (* + +
х = 2 cos (t -j- 91) — sin 3 (t + By),
(4.32)
(4.33)
= при X =f= VJ. J
Чтобы привести уравнение (4.33) к виду (1.1), полагаем
« *
(4.34)
74
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
1Гл. I
На основании (4.34) и (4.35) можем написать:
2% 2те
s ^ / (a cos ф, — acosin ф) sin ф с?ф = у ^ Xaco sin2 фе?ф —
о о
2 п
— ^ о (a cos ф — х0) sin4' + Hini}' I gin ф
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed