Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
пУ 14-
: ш
, к-.
]/2 + 2;2 ’
С = 3?тах { ~ J
Здесь сп, к, К, а обозначают воответственно эллиптический косинус,
К' —те —
модуль, полный эллиптический интеграл первого рода и е Л, а К' (к) = К (к'), где к' = 1/1 — к2.
60 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ [Гл. I
Результаты вычислений приводим в табл. 3.
Т а б л и ц"а 3
ИТ- С'-')** Ч a J Птах ГТ max “ I “ 0 “ II ш 0 “ 0
0,29927 0,30005 0,3 1,0330 1,0331 1,0331
0,59464 0,5998 0,6 1,1248 1,1258 1,1259
0,88552 0,8992 0,9 1,2602 1,2638 1,2641
1,1733 1,1981 1,2 1,4256 1,4333 1,4340
1,4592 1,4966 1,5 1,6115 1,6241 1,6257
1,7443 1,7948 1,8 1,8116 1,8297 1,8323
2,0293 2,0931 2,1 2,022 2,0459 2,0493
2,3140 2,3912 2,4 2,240 2,2697 2,2740
2,5991 2,6895 2,7 2,463 2,4985 2,5041
2,8841 2,9877 3,0 2,690 2,7318 2,7385
Принимая во внимание простоту формул (2.48) и (2.49), следует, очевидно, признать получаемую и в данном примере степень приближения вполне удовлетворительной. Можно, кроме того, показать, что эти
формулы не теряют своей эффективности даже при —»ос.
В самом деле, соотношения (2.51) приводят к следующей асимптотической формуле:
ю 11 + <?« Г У N1^
“о 4/2 Yq
где <7 берется для модуля & = а точки обозначают член, отношение
у 2
которого к написанному первому члену стремится к нулю при —>оо. Аналогичные асимптотические формулы получаются из Ш1 (а) штт (а)
(2.48) и (2.49) для —— и --------— соответственно с коэффициентами про-
ш0 ш0
порциональности Jf \ lls С "^0 >) ‘ чиСленные значе~
ния будут:
1 П +
4/2 V
Y 2
Таким образом, в пределе при оо относительная погреш-
ность первого приближения частоты составит 2,4%, а второго — всего 0,6%.
§ 3. Случай нелинейного трения В качестве второго частного случая рассмотрим уравнение вида
+ = (3.1)
которое можно интерпретировать как уравнение колебаний массы т,
§ 3]
СЛУЧАЙ НЕЛИНЕЙНОГО трения
61
находящейся под воздействием линейной упругой силы кх и нелиней-
Это уравнение, очевидно, принадлежит к типу общего уравнения
(1.1), причем здесь
Чтобы воспользоваться формулами (1.21) — (1.28), определяющими искомые приближенные решения, рассмотрим разложение
Таким образом, учитывая (1.23) и (1.24), получим первое приближение в следующем виде:
Отсюда легко видеть, что для систем, описываемых уравнением типа (3.1), в первом приближении амплитуда колебания затухает согласно закону, выраженному вторым уравнением (3.5). Что касается мгновенной частоты, то она постоянна и равна обычной линейной частоте (о, так что
где 0 —начальное значение фазы ф.
Таким образом, в первом приближении колебания оказываются гармоническими с постоянной частотой ш.
Мы уже имели возможность убедиться в том, что нелинейные колебательные системы, вообще говоря, не изохронны.
Рассматриваемый же пример является одним из важных случаев, когда в первом приближении система изохронна. Такие случаи будем называть случаями квазиизохронности*).
*) Мы прибавляем «квази» потому, что соответствующие колебательные системы, как показано ниже, будут изохронны лишь в первом приближении.
ного слабого трения
зависящего от скорости.
СО
(3.2)
из которого получим:
оо
П= О
Сопоставляя последнее разложение с (1.16), находим:
Sn\ka) = Fn (аш) cos J > К (а) = — FJM sin т '
(3.3)
Поэтому согласно (1.17) имеем:
(3-4)
(3.5)
ф = (at + 0; ’
62
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫЛТ
[Гл. I
Перейдем к построению второго приближения. Согласно (1.28) и (3.3) находим:
(3.6)
м«. Ф)= 2
т“ jLA
n=0 (пф 1)
Далее из (1.30), (3.4) и (3.6) получаем:
2711
А2 (а) = — ~2mim ^ ^ ( — а(0 s*n ^ cos ^ s*n ^ ^ —
о
ОО 2п
\___ 2 ^ F' ( — aw sin ф)-81п /г (^ф + у ^ sin ф с?ф,
2<02ТГ
Г? = 0
(п=^1)
0
оо
*“^-В55Г 2
п=0
(П^1)
27С
X ^ F' ( — aw sin ф) sin /г(^ф + у ^ cos ф с?ф.
(3.7)
С другой стороны, заменяя в интегралах ф на ф
находим:
Zj7L
С F' ( — mo sin ф) sin п( ф + ^ ^ sin ф с?ф =
J Ч “У
0
27т;
= — ^ F' (aw cos ф) sin пф cos ф с?ф = 0.
Далее, интегрируя по частям, получим:
С X
^ F* (—а со sin ф) sin п ф ~г у ^ cos ф йф =
о
27п
1 Г If. , 1 Г F (am cos Ф) 1
= — \ F (aw cos о) phi lvu sm у аф =--------------\ sm т а —5---— =
т \ v ‘ ' т ” пг .1 1 [_ am J
о о
2 г.
— —-— F (aw cos ф) cos nb d<b = — F (am)*
am m ) x 1 ' 11 ao> 11 ' '
0
Поэтому (3.7) можно записать следующим образом:
Л2(а) = 0,
В2 (а):
Fx (am) dFx (am) F\ (am) 1 n2F%. (am)
8io3a da 4o>3a2 2<o3a2 -^—1 n2 — I
n=2
(3.8)
§ 3] СЛУЧАЙ НЕЛИНЕЙНОГО ТРЕНИЯ 63.
Итак, в рассматриваемом случае второе приближение имеет вид
00 Fn (am) cos п С ф +у J
ж==асо8ф-^2 ---------------(3-9)
(пф1)
причем
da _eFt (am)
dt ~~ 2to ’
(3.10)
где B2(a) определяется выражением (3.8).
Прежде чем перейти к анализу уравнений зависимости амплитуды от времени для различных законов силы трения, т. е. для различных
видов функции ^ > заметим, что для применимости выведенных
формул необходимо общее ограничение, а именно: сила трения должна быть достаточно малой.
Переходя к анализу конкретных примеров, прежде всего рассмотрим линейное уравнение
= о (3.11)
с малым коэффициентом затухання:
