Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
До сих пор мы рассматривали воздействие внешних периодических сил на колебательные системы, близкие к линейным. Можно, однако, также рассмотреть вопрос о влиянии малых периодических возмущающих сил и на релаксационные колебательные системы, описываемые, например, уравнением типа
= Ф (ж) + s.E cos 'it, (107)
Рис 24.
где, как и в случае уравнения (75) свободных
релаксационных колебаний, Ф (х) представляет определенную на интервале (а,Ь) двузначную функцию.
В частности мы получим уравнение (107), если в ранее рассматривавшейся схеме генератора релаксационных колебаний включим погле-довательно с постоянным напряжением Еа переменное гармоническое напряжение s?v cosvi.
Так, для схемы, приведенной на рис. 24, имеем, очевидно:
di
= Ф(0-
гЕ cos 4t
(108)
cos vt ~ dt,
at
dt L
Ввиду того, что в свободных релаксационных колебаниях существенную роль играют обертоны вплоть до весьма большого порядка, мы видим, анализируя выражение
т
1 Г n dx
f \
О
что в системе имеют место резонансы типа деления частоты
СО
V=T-
где п может быть достаточно большим числом.
Поэтому резонансы деления частоты на большое число удобнее всего наблюдать на релаксационных системах.
ГЛАВА I
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
§ 1. Построение асимптотических решений
Перейдем к изложению метода построения асимптотических приближений, в первую очередь для случая колебаний, определяемых дифференциальным уравнением вида
где з —малый положительный параметр.
К правильной формулировке этого метода мы можем прийти, исходя из физических представлений о характере рассматриваемого колебательного процесса.
Так, при отсутствии возмущения, т. е. при е = 0, колебания, очевидно, будут чисто гармоническими
с постоянной амплитудой и равномерно вращающимся фазовым углом:
(амплитуда а и фаза 0 колебания будут постоянными по времени величинами, зависящими от начальных условий).
Наличке нелинейного возмущения (г Ф 0) приводит к появлению в решении уравнения (1.1) обертонов, обусловливает зависимость мгно-
d\>
венной частоты от амплитуды и, наконец, может вызвать систематическое увеличение или уменьшение амплитуды колебаний в зависимости от притока или поглощения энергии возмущающими силами.
Все эти эффекты возмущения, очевидно, исчезают в предельном случае (г - 0).
Принимая все это во внимание, будем искать общее решение рассматриваемого уравнения (1.1) в виде разложения*)
в котором и1(а, ф), и, (а, ф), .. . являются периодическими функциями угла ф с периодом 2л, а величины а, ф как функции времени опреде-
*) Впервые такая формулировка метода разложения по малому параметру Сыла дана в книге Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова «Введение в нелинейную механику» [22]
(1.1)
х = a cos ф
х = a cos ф H-eiij (а, ф) + г2и2 (я> ф) 4- еЗи3 (я, ф) , (1-2)
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
37
ляются дифференциальными уравнениями:
fa = ?^i (я) + г2^2 («)+¦¦•»
~fa = W + г-®1 (®) + ^В2 (ffl) + • • •
(1.3)
Итак, перед нами возникает задача подбора соответствующих выражений для функций м1(а,ф), и2 (а, ф), . .., Аг (а), В1(а), А2(а), В2(а),... таким образом, чтобы выражение (1.2), в которое вместо а и ф будут подставлены функции времени, определенные уравнениями (1.3), оказалось бы решением исходного уравнения (1.1).
Как только эта задача будет решена и будут найдены явные выражения для коэффициентов разложений, стоящих в правых частях (1.2),
(1.3), вопрос об интегрировании уравнения (1.1) сводится к более простому вопросу об интегрировании уравнений (1.3) с разделяющимися переменными, допускающему исследование с помощью известных элементарных приемов.
Как мы увидим далее, определение коэффициентов указанных разложений не представляет принципиальных затруднений, однако ввиду быстрого усложнения формул практически эффективно могут быть найдены обычно лишь два-три первых члена.
Останавливаясь в наших разложениях на этих членах, т. е. полагая
а: = а сов ф+8^ (а, ф) + г2и2 (а, ф)+ .. . + етвт(а, ф) (1.4)
(пг =1,2,.. .)
И
— = 3^1 (я) +г2А2 (а) + .. . +smJm (а), |
= (o + sBj (a) + s.2B2 (a) + • •. +smBm (a), j
мы сможем получить приближения первого, второго и т. д., вообще небольшого, порядка, и потому практическая применимость метода определяется не свойствами сходимости сумм (1.4), (1.5) при т—> со, а их асимптотическими свойствами для данного фиксированного т при s—s>0. Требуется лишь, чтобы при малом г выражение (1.4) давало бы достаточно точное представление решения уравнения (1.1) для достаточно длительного интервала времени. Поэтому мы не будем здесь изучать проблему сходимости при т—» оо и условимся рассматривать разложения (1.2), (1.3) как формальные разложения, необходимые для построения асимптотических приближений (1.4).
Иначе говоря, цост^вим задачу более осторожно, сформулирован ее как задачу о нахождении таких функций:
(Я, ф), Wg (^» Ф)» • • • > (^)> -^2 (^0’ * • * J В-^ (я), В2 (я), ..., (1.6)
чтобы выражение |1.4), в котором функции времени а, ф определяются
«уравнениями »г-го приближения» (1.5), удовлетворяло уравнению (1.1) с точностью до величин порядка малости ?m+1.
