Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что как раз в рассматриваемом случае уравнения (1.1) можно было бы установить сходимость разложений (1.2), (1.3) при весьма общих
условиях, наложенных на функцию Поскольку, однако,
38
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. I
в дальнейшем придется иметь дело со случаями, в которых аналогичные разложения заведомо расходятся, мы не будем связывать изложение нашего метода построения асимптотических приближений с доказательствами сходимости и потому всегда, без дальнейших оговорок, будем придавать рядам, расположенным по степеням малого параметра, вышеуказанный формальный смысл.
Скажем еще несколько слов об оценке погрешности. Из того факта, что получаемое приближенное решение удовлетворяет уравнению (1.1) с ошибкой порядка зт+1, с помощью обычного мажорационного приема устанавливается, что отклонение приближенного решения от соответствующего точного (при согласовании начальных условий) будет ограничиваться величиной порядка sm+1t и, таким образом, это отклонение остается малым при сколь угодно больших значениях з?, если только само з достаточно мало. Здесь имеем основное отличие от приближенных формул (6), р а с см ат р ив а в ш и х с я во введении, которые были применимы только при малых значениях зt, т. е. только на таком интервале времени, в течение которого амплитуда колебаний не успеет заметно отойти от своего начального значения.
Заметим, что вопросы строгого обоснования асимптотических методов представляют особую, чисто математическую проблему, имеющую значение для теории дифференциальных уравнений с малым параметром.
Мы сочли поэтому целесообразным отнести обсуждение их в главу VI, являющуюся математическим дополнением к основному тексту книги. Здесь же сосредоточим внимание на проблеме фактического построения приближенных решений и применении их к исследованию конкретных примеров, причем на ряде примеров, для которых известны точные решения, будет проиллюстрирована эффэктивность метода и точность приближенных фтрмул. .
Прежде чем перейти к проблеме построения приближенных решений, заметим, что задача определения выражений (1.6) содержит неко-
торый произвол.
В самом деле, допустим, что найдены какие-то выражения для этих функций. Беря после этого произвольные функции
о^(а), а2(а), ..., ^ (а), р2(а), ...
и совершая в (1.2), (1.3) замену переменных
а = Ъ + saj (b) 4- з2л2 (Ь) 4- . . .,
Ф — ? + ®?i (&) + (&)+••••»
получим:
х = Ъ cos 9 -j- з [04 (6) cos 9 — (b) sin 9 + их (Ъ, 9)] + е2...,
§ = з А, (Ь) + з2 [ а, (Ъ) - (Ъ) + А2 (Ъ) ] + в»...,
(1.7)
g = “ + eBl(b)+»2[-^%fQ-Pl(b)-^A(b) + fl,(b)]+•»... j
Как видно из (1.7), мы опять пришли к формулам типа (1.2), (1.3), только уже с измененными выражениями коэффициентов (1.6). Поэтому для однозначности определения этих коэффициентов следует наложить на них дополнительные условия, что можно сделать, вообще говоря, с известным произволом. В качестве этих дополнительных условий
§ u
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
39
примем условия отсутствия первой гармоники в выражениях иг(а, ф), и2(а, ф),... Иначе говоря, б^дем так определять эти периодические функции фазового угла, чтобы выполнялись равенства
С физической точки зрения принятие этих условии соответствует выбору в качестве величины а полной амплитуды первой основной гармоники колебания.
После сделанных предварительных замечаний перейдем к поставленной задаче о нахождении подходящих выражений для (1.6) с учетом дополнительных условий (1.8).
Дифференцируя правую часть (1.2), находим:
^ иг (а, ф) cos ф ^ф = 0, ^ и2 (а, ф) cos ф б?ф = 0,. . .
о
2те
О
2п
(1.8)
^ иг (а, ф) sin ф ^ф — О, ^ и2 (а, ф) sin ф <2ф = 0,.. .
о
о
х = a cos ф + sиг (а, ф) + *2ц2 (а, ф) ,
dt dt \ ‘ да 9ф да )
+(.§y{-aa>s^‘w+‘‘w+---}-
(1.9)
Учитывая уравнения (1.3), можем найти следующие величины:
\
( ft У = (еА1 + s2J* + ¦ ¦ • )2 = еМ1 г3 • ¦ • -ft ft = (зА-н2Л+ ...)(« + ^1 + ?^н ...) =
> (1.Ю)
= О)2 + + s2 (В“ + 2<ofi?) + е3. . .
40
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гй. I
Подставив (1.3), (1.10) в (1.9) и располагая результат по степеням параметра е, найдем:
dx
dt
= — аю:
sin ф + г cos ф — аВх sin ф -f ш -^j- j 4--f s2 | A2 cos ф — aB2 sin ф Вг 4~ ш j- + г3 ...,
ф 4- ? — 2шА1 sin ф — 2юаВ1 cos ф 4- 0)2 j +
d2x
It2
= — аю* cos
+ S2
Ax — aB\ — 2юаВ^ cos ф •
^2cdJ24- 2A1B1-\- A1(^- a^ втф 4-
4- 2u>At
d2ux
da d]i
¦ 2iu Вл
d2u1
dif2
¦ 0)
дггг2 d\i2
}+'
(1.11)
откуда следует, что левую часть уравнения (1.1) можно представить в виде
-j- ю2х = г | — 2шА1 sin ф — 2<оаВ1 cos ф + со2 + и)2их j- +
+ s21 Ах — аВ\ — 2юаВ2 ^ cos ф —
( 2(0А2 + 2A1B1 + A1d-^ a) sin ф + 2*At ^¦
4- 2 о)5.
da J
д2«!
Ту2
д2и,
ду2
ю2и2
}+'
(1.12)
Правую часть уравнения (1.1), учитывая (1.2) и (1.11), можем записать следующим образом:
е/ (^х, ~^г^) = е/ (а cos ф, — аю sinф) + г2 (a cos ф, — асовтф)-!-
+ ^ Ах cos ф — аВх sin ф + ш (я cos ф, — аю sin ф) | -f а3 (1-13)
Для того чтобы рассматриваемое выражение (1.2) удовлетворяло исходному уравнению (1.1) с точностью до величин порядка малости sm+1, необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степейях е в правых частях (1.12) и (1.13) до членов m-ro порядка включительно. В результате получим следующие уравнения:
