Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2Т L ч+а> V —0) _Ьо • ^
Для достаточно больших Т это выражение практически отлично от нуля только тогда, когда внешняя частота достаточно близка к собственной.
Таким образом, малая возмущающая сила, действующая в течение продолжительного времени, может оказывать заметное влияние на рассматриваемый вибратор лишь в случае резонанса v^ie. Такой резонанс условимся называть «главным» или обыкновенным резонансом.
В нашем рассуждении мы исходили из чисто гармонической формы собственных колебаний.
Однако из-за наличия нелинейного члена в собственном колебании непременно будут появляться (и при отсутствии внешней возбуждающей силы) высшие гармоники.
Подставляя в (79) вместо х выражение собственного колебания, содержащее высшие гармоники с частотами пш, и повторяя вышеприведенное рассуждение, убеждаемся в том, что рассматриваемая средняя мощность при достаточно большом Т может быть практически отлична от нуля не только при но и при где п — 2, 3 и т. д. Эти дополнительные
резонансы, которые можно заметить лишь в следующем приближении, при учете наличия обертонов в собственных колебаниях, будем называть резонансом деления частоты или демультипликационным резонансом.
В еще более высоких приближениях можно заметить и более сложные резонансы дробного типа
Г№ ЯК 1ПЧ,
¦обусловленные тем, что при достаточно высоком приближении в выраже-
30 ВВЕДЕНИЕ
нии следует учитывать не только обертоны собствённой частоты, но и
(Комбинационные тонЫ с частотами типа то±п>.
В рассматривавшемся случае слабо нелинейного вибратора с приложенной малой гармонической силой в первом приближении мы обнаружили лишь Главный резонанс <u=^v. Однако в некоторых слабо нелинейных системах уже в первом приближении проявляются и резонансы другого типа, например резонансы деления на два.
Так, например, если рассматривать колебательную систему, жесткость которой изменяется периодически, то получаем известное уравнение Матье:
л/2/у»
-^2-4-co2(l-f/icosvi)a: = 0. (81)
Предполагая, что коэффициент модуляции частоты оy2h мал,
и считая член
co2/icosvi-2; (82)
внешним возбуждением, подсчитаем выражение для средней мощности. Здесь уже в первом приближении имеем:
to+T
A=~y ^ cos v2 cos («>t + <[>) aw sin (u>t -f ф) dt =
(0
___ <o3h Г cos [(v + 2a>) t + 2\i] cos [(v— 2to) t— 2ty] г°+-г
_ ~W L 'T+2a> v — 2(o J <„ ’
и, следовательно, работа, произведенная возмущающей силой (82).
в среднем за большой промежуток времени практически не исчезает
в случае, если v ^ 2со, т. е. со я» .
Таким образом, в колебательной системе, описываемой уравнением (81), мы уже в первом приближении можем обнаружить резонанс деления частоты на два.
Рассмотрим еще влияние внешнего гармонического возбуждения на автоколебательную систему. Для зтого возьмем обобщенное уравнение Ван-дер-Поля в виде
4^г — s(l-x2)-^- + x = JEsinvi. (84)
Предполагая, что v не принимает значений, близких к единице, произведем замену переменных согласно формуле
x = y-\-U sin’vj, (85)
тт Е
гДе U= j—2 .
Тогда имеем:
+ у = е[1 — (у + г/sinv«)2] [-^- + ?/vcosvi] . (86)
Проанализируем, какие резонансы могут быть обнаружены в первом приближении для данного уравнения.
Подсчитывая среднюю мощность, производимую малой возмущающей силой,
s [ 1 — (У + U sin vJ)2] + cos vt J (87),
ВВЕДЕНИЕ
31
в режиме чисто гармонического колебания
у = a cos (сог + ф),
d v
= — aw sin (cot + ф),
нетрудно заметить, что она не исчезает,^ если 2ш «к v, а также если 2v е&ш , причем резонанс 2со v возникает от слагаемого возмущающей силы (87), амплитуда которого пропорциональна U, а резонанс 2ч я» о) — от слагаемого, амплитуда которого пропорциональна иг.
Таким образом, если Е— величина малая, то резонанс 2ш ч можно обнаружить во втором приближении, а резонанс 2v «к ш — только в третьем приближении.
Уже из сделанного предварительного анализа ясно, что в случаях резонанса весьма слабые периодические возмущения могут оказывать существенное влияние на протекание колебательного процесса в течение достаточно больших интервалов времени.
При этом в отличие от возмущений, не зависящих явно от времени,
типа вf(^x, » здесь существенную роль будут играть фазовые
соотношение.
В самом деле, взяв типичную формулу (80) и положив в ней для простоты u) = v, найдем:
А я» ф. (88)
Итак, при sin ф < 0 энергия поступает в систему, при sin ф > 0 энергия забирается из системы. Уже на этом простом примере мы видим важность фазовых соотношений в случае резонанса.
Поэтому приближенные уравнения, определяющие протекание колебания, должны включить не только амплитуду, но и фазу колебания, так что вместо одного уравнения (70) мы будем теперь иметь систему двух связанных уравнений типа
А = Ф(М).
Вопрос о фактическом определении правых частей этих уравнений применительно к первому и высшим приближениям рассмотрен в главе III. В этой главе будут изложены расчетвые, асимптотический методы, подтверждающие правильность приведенных здесь предварительных рассуждений качественного характера и дающие им надлежащее развитие.
В рассмотренных выше примерах мы имели дело с колебательными системами, описываемыми уравнениями типа
