Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
~ + ^x = ef^t, х, , (90)
где /(* , х, — ^ — периодическая функция с периодом 2тс относительно vt.
В случае нелинейного вибратора мы имеем:
е/ х, = е/ ^ х, ^ -f sE cos vf.
(89)
32
ВВЕДЕНИЕ
В случае уравнения (81) (уравнение Матье): е/ x>~^f 3 = __ C0S
Следует подчеркнуть, что к уравнению такого вида сводится большое число практически важных колебательных систем.
Примером колебательной системы, описываемой уравнением (77), может являться задача о колебаниях груза единичной массы, подвешенного на пружине с нелинейной характеристикой упругости при наличии трения и находящегося под воздействием возмущающей силы sEcosvt (рис. 19).
Задача о крутильных колебаниях вала, состоящего из двух масс, соединенных при помощи нелинейной упругой связи, на одну из
I Fit)
Рис. 20.
Рис. 21.
которых действует синусоидальныи крутящий момент (рис. 20), приводится к уравнению вида
F (г) = s,E cos vl
hh S- + (A + A) с (0) + / { — ) = *E cos Vi,
(91)
также принадлежащему к уравнению типа (77). Здесь /2 и /2 —моменты инерции масс, 0 = 0Х —02 —угол скручивания, f — функция
скорости, учитывающая влияние трения.
Задача о колебаниях маятника, находящегося под воздействием внешней периодической силы, также приводится к уравнению типа (77) и т. д.
К уравнению типа Матье (81) сводится, например, задача о поперечных колебаниях шарнирно закрепленного стержня, находящегося под воздействием продольной пульсирующей силы F (t) = sE1cosyt.
В этом случае получаем уравнение
d2x . , Г . 1ЧЕг , 1 А
df2 + w [ 1 EJv. cos v« J X — 0,
(92)
где введены обозначения: i?/—жесткость стержня, I — длина стержня (рис. 21).
Уравнение более общего типа, чем уравнение Матье, имеет место при рассмотрении нелинейного вибратора, в котором некоторые пара-
ВВЕДЕНИЕ 33
метры, например собственная частота соответствующей линейной системы, периодически изменяются.
Тогда имеем уравнение вида
~-+w2(l+hsin4t)x = ef (^х, (93)
В качестве примера рассмотрим колебания в контуре, состоящем из обычной самоиндукции L, катушки с характеристикой (магнитный поток —ток) вида
Ф = Ф(0,
if-
малого омического сопротивления R и переменной емкости С = C0(l-f-psin W)
(рис. 22).
Тогда полный поток магнитной индукции в контуре будет:
Ы + Ф(Г), gz *
и, таким образом, имеем следующее уравнение: S R
Л/WW
т+*т+т+\ i Л=о, (94) Рт22
о
или, вводя в качестве неизвестной заряд на обкладках конденсатора
t
<7= ^ idt,
о
получим:
{i+®<S)}5+^&+Mi+7iirs)=°- <95>
Предполагая, что самоиндукция L достаточно велика по сравнению с «нелинейной самоиндукцией»:
L> Ф'(0,
и, кроме того, коэффициент р, характеризующий «глубину изменения» емкости, достаточно мал, можем уравнение (95) с точностью до величин второго порядка малости привести к виду
ф, f ф f , 2/л *\ R f л \dt J\dg , „ \ dt 1
_r + o,*(l-psmv0<7= -z^l-------Г”J* +ш —IT^V’ (96)
1
где со = —== . м Y LC
В качестве примера автоколебательной системы, находящейся под воздействием внешнего синусоидального возбуждения, рассмотрим регенеративный приемник, схематически приведенный на рис. 23.
В этом случае получаем уравнение
d2i I ddi I
34
ВВЕДЕНИК
причем
ia = f{V .) (98)
— характеристика лампы.
Так как
Vs-=Mrft+E0sinvt, (99)
где Mr = М — DL, то подстановкой
^=i-w^cosyt (10°)
уравнение (97) можно привести к виду
CL § + RC + it = / ( Мг § ) + Ех cos (vf + ?), (101)
где
Р ЕВС /(iCva — l)a-fi?2C2v2 1 _ A?rv '
Уравнение (101) принадлежит к типу уравнения (93), а при помощи подстановки
'Ei
h =1 + cos (У1 + ?)• ' (102)
где ш21 = , приводится к виду (86).
Рассмотрим еще некоторые примеры, приводящиеся к более сложным уравнениям, чем уравнения типа (67) или (90).
В качестве первого примера рассмотрим задачу о колебаниях маятника с переменной длиной.
Пусть т, обозначает массу маятника, g —ускорение силы тяжести, & — угол отклонения от вертикального положения, I = / (t) — длину маятника, зависящую от времени. Тогда, пренебрегая силой трения, получаем уравнение
i[^l2(t)§]+gl(t)smb = 0. (103)
Рассмотрим еще работу отражательного клистрона в режиме сверх-регенеративного усиления. Пусть GE = GR + GH — суммарная активная проводимость; 6’н —проводимость, характеризующая потери в резонаторе; GH - проводимость, характеризующая нагрузку; Ge — активная часть электронной проводимости; Е (t) — э. д. с. сигнала; % (t) — переменное напряжение суперизации.
Тогда уравнение, характеризующее работу клистрона, будет иметь следующий вид:
^ +- р (Ge - Ge) § + и = Е (t) sin (1 + Щ (t)) со0t, (104)
со
где р = со0?,
Если в уравнениях (ЮЗ) и (104) коэффициенты, являясь переменными, изменяются медленно, что мы будем обозначать в дальнейшем
ВВЕДЕНИЕ
35
в виде зависимости не от t, а от -с, где t = st, е — малый параметр, эти уравнения будут принадлежать к уравнениям вида
то
А
dt
ИЛИ
где
(105)
(106)
м
et, 5F = v(x).
WVW
R
К уравнениям типа (105) или (106) приводятся многие задачи физики и техники, как, например, задача о прохождении через резонанс, исследование неустановившихся процессов в колебательных контурах, вопросы частотной модуляции, ряд задач из теории ускорительных устройств и т. д.
