Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 8

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 138 >> Следующая

Уравнение (45) с помощью замены переменных
У
dx
может быть приведено к следующему:
d2v ~t\ „,2\ dy
dz2
s(1-2/2)^ + 2/ = 0,
(46)
(47)
где
\r km
Уравнение автоколебаний, представленное в таком виде, называется
уравнением Ван-дер-Поля.
Приведем теперь конкретные примеры автоколебательных систем.
Рассмотрим электронный генератор, схематически изображенный на рис.
lb*
Пусть iL, ic, iR — соответственно токи в самоиндукции L, емкости С и сопротивлении R колебательного контура.
Обозначим через Еа постоянное напряжение в анодной цепи, Va— полное напряжение на аноде электронной лампы, Vg — напряжение на сетке, ia — анодный • ток, М — коэффициент взаимной индукции между цепью сетки и колебательным контуром. Согласно схеме рис. 8, пренебрегая сеточным током, имеем:
I
L^ = ^\icdt = mR = Ea-Va
at
i-a — iL + 'r + гс>
(48)
(49)
(50)
ВВЕДЕНИЕ
и, следовательно, можем написать дифференциальное уравнение:
г'„.
dt2 + R dtJrlh '
21
(51)
Как известно, анодный ток ia является определенной функцией управляющего напряжения и = Vд + DVа, т. е.
ia = f(u) = f(Vg + DVa), (52)
где D — константа, называемая проницаемостью лампы. Обычно численная величина D мала по сравнению с единицей.
Подставляя (52) в (51) и принимая во внимание (48) и (49), получим:
(53)
+ ;ь-/[в?„ + (М-М)^ ] .
Введем в рассмотрение следующие величины:
Е0 = DEa,
V — (М — LD) ~.
Очевидно, V — переменная слагающая управляющего напряжения и, возбуждаемая вибрациями тока в колебательном контуре, а Е0 — постоянная слагающая, возбуждаемая источником постоянного тока.
Тогда для неизвестной V из (53) получаем уравнение следующего вида:
LC^+V+{^-(M-LD)f'(Eo+V)}^- = 0. (54)
Произведя замену переменных по формуле
t = х ~Y ,
получаем следующее уравнение для электронного генератора в безразмерной форме:
d2V
dx2
(М - ID) г (В,.+ F)} = 0.
V LC I
(55)
При некоторых допущениях уравнение (55) может быть сведено к уравнению Ван-дер-Поля.
Действительно, предположим, что постоянная слагающая управляющего напряжения Е0 выбрана таким образом, что она является абсциссой точки перегиба характеристики лампы:
т. е. так, что
*а = /(«).
/"№>) = о
(рис. 9).
Тогда для некоторого интервала значений V можем приближенно положить:
f(E0 + V) = f (Е0) + Vf (Е0) + ? Г (Е0).
(56)
22" ВВЕДЕНИЕ
Допустим, что
(М — LD) f (Е0) < о,
(M~LD)f'(E0)-^> 0.
Тогда уравнение (55) преобразуется к уравнению Ван-дер-Поля:
5— <1-*")? + *=0, (57)
где введены обозначения:
л
= е, aF = ж,
/LC
а2 . -(М-ЬР)Г(Е0)
г^м-LD) Г(Еа)-~^
Приведем еще один пример автоколебательной системы, встречающейся в электротехнике.
Рассмотрим электрический колебательный контур (рис. 10), состоящий из емкости С, самоиндукции L и некоторого элемента с нелинейной характеристикой напряжение —ток: e = F (i) (рис. 11).
3
Рис. 10.
Тогда колебания в контуре будут описываться уравнением
icg+i+CF'(i)S-0
(58)
или, если положить, что характеристика аппроксимируется полиномом пятой степени
F(V) = A + Bi + Z>i2 + Ei8 + Fi4 + Gi\ следующим уравнением:
LCd^ + i + C(B + 2Di + 3Ei2 + iFi3 + 5Gi*)^r = 0,
(59)
(60)
для которого в зависимости от характера полинома (59) может существовать решение, соответствующее стационарному колебательному режиму.
В качестве механической автоколебательной системы рассмотрим маятник Фроуда.
Устройство этого маятника схематически представлено на рис. 12: на вал О, вращающийся с равномерной скоростью, надета муфта М, жестко связанная с маятником; трение муфты при вращении на валу
ВВЕДЕНИЕ
23
известно. Обозначим через б угол отклонения оси маятника от вертикали (рис. 13), и - угловую скорость вращения вала, / — момент инер-
. М
ции маятника, X — —момент сил трения маятника о воздух, пропор-
* „ <20 щиональныи угловой скорости колебании маятника .
Кроме сил трения маятника о воздух, при составлении уравнения
необходимо учесть также момент сил трения между муфтой и валом.
м
Рис. 12.
Ряс. 13.
Допустим для упрощения, что этот момент 5Ш является определенной функцией F от относительной угловой скорости v (маятника относительно вала)
m = F{v).
В рассматриваемом случае, очевидно, имеем:
<ге
(61)
V = и -f
dt
я поэтому уравнение колебаний маятника Фроуда (идеализированного) может быть представлено в виде
еде т — масса маятника, а —расстояние от центра тяжести маятника до центра оси вала, g — ускорение силы тяжести.
Характеристика трения между муфтой и
«алом (61) имеет, вообще говоря, падающие 0—---------------------------
участки (рис. 14), на которых
г-,, ч Рис- 14.
F (v) <0.
Выберем скорость и так, чтобы и была абсциссой точки перегиба падающего участка:
F» = 0,
причем допустим, что
{и) Н~ ^ 0>
F” (и) > 0.
24
ВВЕДЕНИЕ
Для
db
dt
, лежащего в известных пределах, можно положить:
<63>
Тогда, рассматривая случай малых колебаний и полагая sin 0^0, приводим уравнение (62) к уравнению Рэлея или уравненш» Ван-дер-Поля.
Приведем еще один пример механической автоколебательной системы.
Допустим, что некоторое тело массы т находится на шероховатой поверхности ремня, натянутого между двумя шкивами и двигающегося
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed