Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
' частота их будет зависеть от амлитуды колебания:
Рис. 2. и = ш(а).
Рассмотрим также колебания некоторого груза массы тп, подвешенного на пружине (рис. 2). Пусть /(ж) —сила, которую создает пружина, растянутая на длину х по отношению к состоянию покоя. В этом случае жесткость пружины для смещения х может быть определена как f (х). Пренебрегая опять-таки силой трения, имеем уравнение движения
+ (29)
Если жесткость пружины возрастает с увеличением смещения, то, как принято говорить, пружина имеет жесткую характеристику нелинейной восстанавливающей силы (рис. 3). Если жесткость уменьшается с увеличением смещения, то пружина имеет мягкую характеристику (рис. 4). Очевидно, что колебания груза на пружине, описываемые
уравнением (29), тоже не изохронны ввиду того, что период колебания
будет уменьшаться при увеличении жесткости, а эффективная жесткость
16
ВВЕДЕНИЕ
случае мягкоп
в данном случае растет с амплитудой. Аналогично в характеристики период будет увеличиваться.
Например, в уравнении (28) восстанавливающая сила /(ж) =
= mgl(^x—обладает мягкой характеристикой и, следовательно.
период колебаний будет возрастать с увеличением амплитуды.
Приведем теперь пример нелинейной электрической колебательной системы.
Для этого рассмотрим колебательный контур, состоящий из самоиндукции L, железного сердечника и емкости С (рис. 5). Пусть
f(xt
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
Ф—магнитный поток, проходящий сквозь катушку. Тогда уравнение для рассматриваемого контура можно написать в виде
ааФ dt2
+ 7Г = 0,
(30)
где i —сила тока. Для определения зависимости между силой тока и индуцируемым потоком в катушке при наличии железного сердечника воспользуемся следующей общепринятой формулой:
г = аФ — 6Ф3, (31)
где а > 0, Ъ > 0.
Тогда, - подставляя уравнение:
(31)
Й3Ф
dt2
в (30), получим следующее нелинейное f JL (аф_бф3) = 0, (32)
для которого восстанавливающая сила также имеет мягкую характеристику.
В рассмотренных выше колебательных системах не принимались во внимание силы трения, вызывающие затухание собственных колебаний.
Как известно, законы механического трения, вообще говоря, весьма слабо исследованы.
На практике обычно пользуются следующими законами трения:
1) Сила трения пропорциональна скорости (при колебаниях в воздухе с небольшими скоростями).
2) Сила трения пропорциональна квадрату скорости (при колебаниях в жидкой среде или в воздухе, но при больших скоростях).
3^ Сила трения постоянна по величине, не зависит от скорости и действует в направлении, противоположном скорости, — кулоновское трение.
ВВЕДЕНИЕ
17
4) Внутреннее трение, зависящее от потерь в материале при колебаниях (в пружине, в нити маятника и т. д.). В этом случае сила трения обычно выражается в виде более сложных зависимостей от смещения или скорости.
Так, например, рассматривая маятник, свободно качающийся в воздухе, и предполагая, что сила трения пропорциональна скорости, получим уравнение колебаний в виде
О,
(33)
где X — коэффициент пропорциональности, обычно называемый коэффициентом затухания.
Если тело, подвешенное на пружине с восстанавливающей силой f(x), погрузить в жидкость, то, предполагая, что сила трения пропорциональна квадрату скорости, получим следующее уравнение:
d2x , f dx
т
dt2
± а
dt
+ /(*) = 0;
(34)
здесь а — коэффициент затухания, и, кроме того, знак « + » следует брать при > 0, а знак « —»— при ^ <0, так как сила трения всегда
направлена противоположно скорости- тела.
Предположим еще, что на это же тело, подвешенное на пружине, действует не квадратичное, а кулоновское трение.
Тогда уравнение движения будет: d2x
т
dt2
+ А sign (w) + ^ °’
где А — абсолютная величина силы трения и
dx*
Hi
dx dt
sign
1, если
1, если
>0,
<0.
(35)
(36)
В качестве примера, иллюстрирующего учет сил внутреннего трения, рассмотрим вертикальные колебания некоторой массы т, подвешенной к стержню длины I сече- Рис. 6. нием F и с модулем упругости Е *) (рис. 6).
Предположим, что масса т может совершать только вертикальные колебания, а масса стержня, играющего в нашем случае роль пружины, незначительна по сравнению с подвешенной массой т. Тогда систему можно рассматривать как систему с одной степенью свободы. При составлении дифференциального уравнения движения колеблющейся массы т будем учитывать потери энергии колебания на внутреннее рассеяние в материале стержня, массой же самого стержня будем пренебрегать.
Обозначая через х относительное удлинение стержня, получаем уравнение в виде
ml^ + EF
-EFФ(ж) = 0,
(37)
*) Этот пример подробно рассмо1 i Г. С. Писаренко [36]. В его исследовании разработан общий метод, г оляющий изучать влияние внутреннего
трения в системах как с конечным, п и с бесконечным числом степеней свободы.
18
ВВЕДЕНИЕ
ИЛИ
d2x
-(йг+^^+фо*)^0'
(38?
EF
где o)2 = ——собственная частота линейной системы, со2Ф (х)—функция»
учитывающая затухание в материале стержня, причем значение ее прй восходящем и нисходящем движении различно; в уравнении это отмечено соответственно двумя различно направленными стрелками.
