Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
А Л
Vn
QZD
~9(У)
0 У
Рис. 15.
Рис. 16.
с постоянной скоростью v0 (рис. 15). Тело прикреплено к неподвижной точке при помощи пружины, упругость которой изменяется по линейному закону.
Как известно, для определенных значений v0 тело не будет находиться в состоянии покоя, а будет совершать прерывистые колебания. Это является следствием того, что сила сухого трения между телом и ремнем — не постоянная величина, а изменяется в зависимости
от скорости скольжения тела относительно ремня (рис. 16). Пока тело находится в покое относительно ремня = сила тре-
возрастает, оставаясь в каждый момент равной силе натя-
жения пружины; когда эта сила достигает некоторого значения, равного критической величине силы трения, начинается движение тела относительно ремня, причем сначала сила трения будет уменьшаться
при возрастании
dy
dt
а затем при достаточно большом
dy
dt
увеличиваться.
Выберем начало координат в точке, в которой пружина находится в не деформированном состоянии. Тогда скорость скольжения тела можно записать в виде
dy__ dx
~dt ~ ~dt v°’
и уравнение движения тела будет иметь следующий вид:
v0~^ + kx = 0.
d2x
~dt?
т — + ?(
f dx
V dt
(64)
Если за начало отсчета принять положение тела, в котором оно находится в равновесии при одновременном действии упругой силы
ВВЕДЕНИЕ
25
и силы трения, т. е. положение, для которого
?( — v0) + kx = 0, то для новой координаты z:
(65)
уравнение движения будет иметь вид
(66)
Рассмотренные выше колебательные системы достаточно близки к линейным.
В полученных дифференциальных уравнениях нелинейные члены, являясь малыми, могут рассматриваться как слабое возмущение, пропорциональное некоторому малому параметру.
Поэтому в общем случае для таких колебательных систем дифференциальное уравнение удобно записывать в виде
где правая часть содержит малые нелинейные члены (г<1), характеризующие нелинейное трение, нелинейные добавки к восстанавливающей упругой силе, нелинейные члены, обусловливающие существование автоколебательного режима, и т. д.
Введение малого параметра в является очень удобным средством математического представления того обстоятельства, что в течение времени 2к
порядка — (периода колебания) форма колебаний близка к синусоидальной.
Если говорить об общих свойствах таких нелинейных колебаний, то следует подчеркнуть, что в отличие от линейных колебаний их частоты и амплитуды могут быть переменными. Если даже пренебречь высшими гармониками и приближенно положить"
то при этом надо учесть, что а и 0, вообще говоря, переменны.
В нелинейных системах амплитуда колебания может изменяться б зависимости от поступления или убыли энергии в системе. В слабо нелинейных системах это изменение, естественно, очень мало, так что практически оно сказывается лишь за время Т, на&шого большее времени одного цикла колебания.
Рассматривая выражение мгновенной мощности, создаваемой силами, представленными в уравнении малыми возмущающими нелинейными членами, мы видим, что это выражение, являясь периодической функцией фазового угла 0, зависит также от амплитуды а.
Поскольку фазовый угол вращается с частотой о), а амплитуда меняется достаточно медленно, то при усреднении за промежуток времени, в течение которого амплитуда еще не успеет заметно отклониться от начального значения, а фаза уже успеет сделать достаточно большое числа
(67)
х = a cos 0
(68)
26
ВВЕДЕНИЕ
оборотов, члены, содержащие cosnG и sinnG, сделаются весьма малыми, так как выражения
содержат Т в знаменателе.
Таким образом, мощность, развиваемая указанными силами за промежуток времени Т, будет в результате зависеть лишь от амплитуды колебания.
Поэтому естественно рассматривать приближенное уравнение, определяющее ход изменения амплитуды, в следующем виде:
В дальнейшем мы убедимся, что последовательное применение асимптотического метода действительно приводит к уравнению именно такого типа.
Функцию F(а) целесообразно представить в виде — 3(a) а, вводя эффективный декремент о (а), подчеркивающий здесь аналогию с линейными системами, в которых о является постоянной.
Таким образом, естественно положить:
где о) (а) — «эффективная частота колебаний», а 3(а) — «эффективное затухание», определяемое наличием в системе источников или поглотителей энергии.
В системах с трением при любых значеняих а
в автоколебательных же системах для некоторых значений амплитуды колебания
Остановимся еще на одном типе колебательных систем, имеющих очень широкое распространение в природе, однако существенно отличающихся от приведенных выше автоколебательных систем с малой нелинейностью тем, что в них параметр s— большой параметр, и, в частности, рассмотрим случай s ¦—> со.
Колебания, описываемые уравнениями такого вида, получили название релаксационных. Это название отражает наличие двух различных и характерных стадий, на которые распадается колебательный процесс в релаксационной колебательной системе, а именно: медленное накопление энергии системой и последующая разрядка энергии, происходящая почти мгновенно после того, как достигнут некоторый критический потенциальный порог для указанного накопления энергии.
