Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, процесс колебания рассматриваемой системы, в которой происходит потеря энергии на рассеяние в материале стержня,
фактически выражается двумя дифференциальными уравнениями.
Будем предполагать, что отклонение зависимости между напряжением о и деформацией х в материале стержня мало отличается от линейного закона Гука. В этом случае уравнение (38) будет близким к линейному.
Приведем также явное выражение для
функции со2Ф (х). Допустим, что при вертикальных колебаниях массы т, подвешенной на упругом стержне, петля гистерезиса, построенная в координатах: х — относительное удлинение, о —нормальное напряжение, будет симметрична (рис. 7).
В этом случае истинный модуль упругости будет переменным,
ч—
и согласно гипотезе Н. Н. Давиденкова выражение для функции «)2Ф (х) имеет следующий вид:
с«2Ф (х) = «)2Ф (х) = •
^[{а + х)п-2п-'ап], |
(39)
где v и п — постоянные, определяемые экспериментально, а а — амплитуда колебаний.
В рассмотренных выше колебательных системах в некоторых случаях не учитывались диссипативные силы (силы трения), однако в действительности диссипативные силы всегда в той или иной мере воздействуют на колебательную систему, в результате чего колебания со временем затухают.
Незатухающие колебания практически могут существовать в случае,, если в системе имеется некоторый источник энергии, который может компенсировать расход энергии, возникший в результате наличия диссипативных СВЛ.
Таким источником энергии может являться периодическая сила, воздействующая на колебательную систему. Так, например, если на обычный линейный вибратор воздействует внешняя периодическая сила, имеющая одну гармонику, то мы получаем следующее уравнение движения:
т HF + XW + kx==Esin'lt’
(40)
ВВЕДЕНИЕ
19
согласно которому в колебательной системе будут существовать незатухающие колебания. В данном случае потери на трение, вызываемые
наличием диссипативного члена X, будут компенсироваться за счет
энергии, поступающей извне и характеризующейся периодическим членом Е sin 'it.
Однако источник энергии сам по себе может и не иметь никакой определенной периодичности, но его воздействие на колебательную систему играет роль как бы отрицательного трения, которое компенсирует обычное положительное трение, вносимое диссипативными силами.
Колебания такого типа, существенно отличающиеся от рассмотренного выше случая наличия периодического источника энергии, называются автоколебаниями.
В автоколебательных системах при известных условиях положение равновесия теряет устойчивость и возникает движение, переводящее систему в режим стационарного периодического колебания (т. е. колебания, совершающегося с постоянной амплитудой и фазой).
Для осуществления стационарного периодического режима необходимо, чтобы система состояла из трех частей: из колебательной системы; из некоторого источника энергии, управляемого колебательной системой, воздействие которого на систему компенсирует потери на трение, делает положение равновесия неустойчивым, а колебания нарастающими, и мз некоторого ограничителя, переводящего эти нарастающие колебания в стационарное состояние.
Первые две части системы могут быть линейными, ограничитель же колебаний всегда является нелинейным, и поэтому любая автоколебательная система описывается нелинейным дифференциальным уравнением.
Автоколебательные системы широко распространены и имеют большое значение в физике и технике.
Для того чтобы наглядно составить себе представление о характере возбуждения колебаний в автоколебательной системе, рассмотрим колебания системы с одной степенью свободы.
Если колебания имеют малую амплитуду, то приходим к исследованию линейного дифференциального уравнения
Поэтому, если X > 0, то, очевидно, амплитуда малых колебаний ае~Ъ{ будет затухать по экспоненциальному закону.
Если же, наоборот, X < 0, то малые колебания будут раскачиваться и их амплитуда будет возрастать по экспоненциальному закону.
Ввиду того, что амплитуда колебаний не может бесконечно увеличиваться, естественно предположить, что, начиная с некоторого момента, коэффициент затухания меняет знак и становится положительным.
Это свойство колебательной системы можно отразить в дифференциальном уравнении колебаний, заменив постоянный коэффициент X
(41)
Общее решение этого уравнения, как известно, будет:
х — ае~и cos (ш? + <р), где а и <р — постоянные интегрирования,
(42)
(43)'
20
ВВЕДЕНИЕ
на переменный коэффициент, например, следующего вида:
х--А + в(жУ’
где А > 0, В > 0.
В результате получаем уравнение вида
d2x , Г , D f dx Л21 dx , Л
*+ЧлО I*4-**-0-
т
dt2
следует, что
(44)
(45) абсо-
затухание отрицательно для малых по величине значений 4т- и положительно для больших. Таким
из которого
лютной „uu-iwiuu. dt
образом, колебания малой амплитуды будут раскачиваться, а большой — затухать.
Итак, мы видим, что существуют незатухающие автоколебания, к которым стремятся как колебания с малой амплитудой, так и колебания с большой амплитудой.
Уравнение (45) называется уравнением Рзлея и имеет большое значение в теории автоколебаний.
