Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
д2и1
д2Щ
ду2
+ ui ) = /о (а’ Ф) + 2(оА1 sin ф + 2шаВ1 cos ф, 4-и2 ^ = /х (а, ф) 42юА2sinф 4-2шаВ2cos ф,
0)2 + “™) = fm-l (а- Ф) + ЫАт Sil1 Ф + 2(0аВш COS ф,
§ i)
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
41
где для сокращения введены обозначения:
/о {а, ф) = / (а совф, — <ко sin ф), ft(a, ф) = ujx (а cos ф, — aw sin ф) +
+ cos ф — аВ1 sin ф -(- о) j f'x> (а cos ф, — аш sin ф) + + аЩ ~ cos ф + (^ 2АХВХ -|- Ах а ^ sin ф —
2 шВ,
д2и,
Нетрудно видеть, что fh(a, ф) есть периодическая функция переменной ф с периодом 2тг, зависящая от а; ее явное выражение известно, как только найдены выражения Aj(a), Bj[a), и^(а, ф) до к-го номера включительно.
Чтобы определить А1(а), В1(а), и1(а, ф) из первого уравнения системы (1.14), рассмотрим разложения Фурье для функций /0(а, ф) и и1 (а, ф):
/о(а> Ф) = &>(«)+ 2 (а) cos /гф + /гп (а) sin /гф},
П=1
(а, ф) = v0 (а) + 'Z {vn (a) cos /гф -f wn (a) sin /гф}.
П—1
(1.16)
Подставляя правые части выражений (1.16) в первое уравнение системы (1.14), получим выражение
СО
Л0(а) + ^ (о2 (1 — /г2) {vn (a) cos /гф-)- wn (a) sin /гф} =
П— 1
= go ia) + {gi (а) + 2waBJ cos ф + [ht (a) + ЪлАх} sin ф +
СО
+ 1 {gn (a) cos /гф + h (a) sin /гф},
n= 2
из которого, приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, найдем:
(а) + 2шаВ1 = 0, (а) + 2u>At = О,
(/г = ^, о, . ..).
Таким образом, нами однозначно определены Аг (а) и В1(а), а также все гармонические компоненты функции н1(а, ф), кроме первых vl(a) и w1{a). Однако в силу дополнительных условии (1.8) эта функция не содержит первой гармоники, поэтому
v1(a) = 0, о;1(а) = 0
и, следовательно,
42 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ [Гл. I
Определив полностью и1(а, ф), Ал (а) и Вх (а), мы тем самым в соответствии с (1.15) имеем явное выражение для f1(a, ф). Разлагая его в ряд Фурье
СО
fi(d, ф) = §^1) (я) + X (я) cos иф+ /#’(«) sin иф}
П= 1
и воспользовавшись вторым из уравнений (1.14) и условием (1.8), совершенно аналогично находим:
g'1’ (я) + 2юаВ2 = 0, h[^ (а) + 2<аА2 — 0 (1.19)
и
СО
м.. « =
п=2
Таким образом, получается процесс для последовательного однозначного определения интересующих нас величин (1.6).
Изложенный метод действительно позволяет определить
“п(а> Ф)> Ап(й)- вп(а) (« = 1,2,3,...)
до какого угодно высокого значения индекса п и тем самым построить приближенные решения, удовлетворяющие рассматриваемому уравнению (1.1) с точностью до величин сколь угодно высокого порядка малости по отношению к з.
Как видно из процесса определения функций (1.6), величины Ап(а), Вп(а) (и = 1, 2, 3, ...) однозначно определяются условиями (1.8), выражающими отсутствие в функциях ип(а, ф) первой гармоники. В результате получаем для Ап(а), Вп(а) выражения типа (1.17) или (1.19), которые обеспечивают отсутствие в правых частях уравнений (1.14) членов с первыми гармониками, что в свою очередь дает возможность избежать появления в решении секулярных членов.
Рассмотрим первое приближение:
х = я cos ф -f- smj (я, ф), (1.20)
в котором
§ = *л1(а), |
= В1(а). )
Заметим, что, исходя из (1.21), можем написать:
Да - a (t) — а (0) ^ гtAx,
Д (ф — Ы) = [ф (t) — юг] — ф (0) ~ stBv
где Аг и В1 — некоторые средние значения (я) и В1(а) на интервале (0, t). Рассматривая последние выражения, видим, что время t, в течение которого величины я и ф — и>2 смогут получить конечные приращения, должно быть порядка 4- .
С другой стороны, уравнения первого приближения (1.21) получаются после пренебрежения в уравнениях (1.3) членами порядка мало-
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ
43
сти г2, а такая ошибка в значениях первых производных —, -~
за время t приводит к ошибке порядка гЧ в значениях самих функций а и <|>. Мы видим, следовательно, что в том интервале времени, в течение которого а, ф — wt успеют заметно отойти от своих начальных значений, погрешности в значениях амплитуды и фазы колебаний будут величинами порядка е и потому в этом интервале в выражении (1.20) не имеет смысла сохранять член гм1(а, ф) первого порядка малости, поскольку как погрешность формулы (1.20), так и погрешность упрощенной формулы
будут величинами первого порядка малости.
Рассмотрим еще случай стационарных колебаний, т. е. колебаний, совершающихся с постоянной амплитудой и частотой. В этом случае, очевидно, имеем:
Из-за присутствия множителя г. перед Аг(а) видно, что если в выражении (1.22) мы отбросим величивы, начиная со второго порядка малости, и будем определять значение стационарной амплитуды первой гармоники из уравнения первого приближения
то тем самым мы совершим ошибку, вообще говоря, не второго порядка, а уже первого порядка малости.
Принимая все это во внимание, естественно в дальнейшем брать в качестве первого приближения упрощенное выражение
Рассуждая совершенно аналогично, в качестве второго приближения возьмем выражение
х = a cos ф
или
sAx (а) + г2А2 (а) 0.
(1.22)
А(а) = °>
х = a cos ф,
(1.23)
в котором а и ф определяются уравнениями:
(1.24)
х = a cos ф -f- 2Mj (а, ф),
(1.25)
и котором функции времени а и ф определяются уравнениями:
