Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
о
т
т
(69)
т
^ sin пд dt = о
о
J
(70)
(71)
8 (а) > 0,
8 (а) = 0.
ВВЕДЕНИЕ
27
Колебательные системы релаксационного типа (г достаточно велика), так же как и рассмотренные выше системы, близкие к линейным, могут быть охвачены достаточно общими методами исследования.
В качестве примера рассмотрим релаксационные колебания, происходящие йри известных условиях в цепи с неоновой лампой, составленной согласно схеме рис. 17. В этой схеме неоновая лампа N замкнута на источник постоянного напряжения Еа через сопротивление R и защунтирована ¦емкостью С. При рассмотрении этой схемы будем пренебрегать силами инерции в колебательной системе, что приведет нас в итоге к дифференциальным уравнениям не второго порядка, а первого.
Нелинейность колебательной системы, приведенной на схеме рис. 17, обусловливается неоновой лампой, для которой завпсимость между напряжением v и током i не подчиняется линейному закону Ома.
При идеализации процесс изменения тока i в зависимости от изменения напряжения v протекает следующим образом; при изменении v от нулевого значения в сторону увеличения вначале лампа не , / горит и ток в ней отсутствует.
По достижении определенного
—уЛЛАЛЛ-
R
V-
У& v'max
Рис. 17.
Рис. 18.
напряжения vs, называемого напряжением зажигания, лампа загорается, ее сопротивление резко падает, и ток скачком получает значение г3; дальнейшее увеличение v вызывает линейное нарастание тока. Если теперь, после того как напряжение достигло некоторого значения vmaxSvB, начать производить непрерывное уменьшение его, ток i будет уменьшаться по линейному закону, пока v не дойдет до так называемого напряжения гашения vг. В этот момент лампа гаснет и ток i срывается, становясь равным нулю. В принятой идеализации рассмотренная зависимость графически представлена характеристикой рис. 18, состоящей из прямолинейных участков и обладающей гистерезисной петлей. Поэтому можно положить i = 0 для погашенной лампы
. , V — иг
и I = ггЧ—^—- для горящей лампы.
Для составления дифференциального уравнения заметим, что, поскольку ток через конденсатор равен С ~ , ток в сопротивлении R будет
?-^г + i и> следовательно, падение напряжения на R представится равенством
Чс-ж+0“-Е“-''’
28
ВВЕДЕНИЕ
откуда находим:
dv il0 — и — Jli />704
4i~ CR ¦ ' '
При замыкании ключа в схеме рис. 17 начинается процесс заряда конденсатора.
Так как в начальный момент напряжение на зажимах лампы равно нулю, то в течение некоторого периода времени оно будет меньше v3. В течение этого времени неоновая лампа не зажигается и, следовательно, согласно (72) имеем:
dl> __Еа -У /7Ч\
dt RC ‘ ' '
Если Еа > v8, то согласно уравнению (73) спустя некоторое время v достигает значения v3, лампа загорается, после чего начинается при достаточно большом значении R процесс разряда конденсатора через неоновую лампу. Для этого процесса мы имеем:
Еа — v — R
1=--------------RC aNJ- <74>
Пусть R столь велико, что
Ea — v — RiT < 0.
Тогда v согласно (74) монотонно убывает до значения v = vr, после чего лампа гаснет и начинается опять процесс заряда конденсатора, затем снова процесс разряда через лампу и т. д.
Таким образом, в нашей схеме совершаются периодические релаксационные колебания, при которых v изменяется между vr и v3. Уравнение колебаний, очевидно, может быть записано в виде
^ = ФИ, (75)
где Ф(и) на интервале иг<и<и3 согласно (73) и (74) имеет два значения:'
Jg _^
Ф (v) = aRC (для v возрастающих),
Т>
Ea — v—Rir—-^-(v — vr) (для v убывающих).
®м-------------кг-5*-
(76)
3. В приведенных выше примерах колебательных систем возмущающие силы не зависели явно от времени. Эти колебательные системы были изолированы от внешних влияний, вследствие чего все действующие на систему силы зависели только от динамического состояния самой системы.
Приведем теперь типичные примеры нелинейных колебательных систем, находящихся под воздействием внешних периодических сил, и проанализируем с физической точки зрения характерные явления, могущие возникнуть в нелинейных системах в этом случае.
Начнем с рассмотрения самого простого примера — нелинейного вибратора, на который действует слабая гармоническая возбуждающая сила еЕ cos 'tt.
ВВЕДЕНИЕ
29
Уравнение движения в этом случае запишется в виде
^+u?x = zfQc, 4г) + sEcosvt. (77)
Ввиду малости внешней силы и малости нелинейного члена колебания за один цикл будут иметь форму, близкую к гармонической:
х я» acos (u>t -f ф),
^ — аи> sin (u>t + ф).
(78)
‘ОТ
-М
Амплитуды и фазы будут здесь претерпевать существенные изменения лишь за время, включающее большое количество циклов.
Рассмотрим* среднюю мощность
еЕ cos -it dt, (79)
to
вносимую в систему внешней силой за время Т, в течение которого
она еще не успевает заметно изменить форму колебания. Так как
внешняя сила считается малой, это время Т, в течение которого колебание приближенно является «собственным», может быть взято достаточно большим по сравнению с циклом колебания.
Подставляя (78) в выражение (79), получим среднюю мощность в виде
. _ аи>=Е Г COS [(ч + а>) 4 + ф] COS [(v — а>) t — ф] ] (о+Т /ят
