Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Р («) = гг -~гг - eh |а| сЛ. (2.11)
2 (я +g) sing n+g
Из этой формулы видно, что распределение частиц в море Дирака отличается от свободного (g = 0) лишь перенормировкой быстроты:
ai—а. (2.12)
n+g
Отметим, что формулу (2.10) можно было бы получить непосредственно из уравнения (2.8), подобрав зависимость т0 от Л таким образом, чтобы решение уравнения (2.8) р(а) имело конечный предел при Л->оо в области |а|<«:Л.
Случай — л<?<0 рассматривался в работах [3.11; 3.16], где было показано, что в этом случае основное состояние представляет собой море Дирака, в котором, кроме элементарных частиц, присутствуют их связанные состояния.
§ 3 ДРОБНЫЙ ЗАРЯД И ВЫТАЛКИВАНИЕ ЗА ОБРЕЗАНИЕ
63
§ 3. Дробный заряд и выталкивание за обрезание
Рассмотрим возбуждения над основным состоянием (физическим вакуумом). Сначала построим возбуждение, соответствующее дырке в море Дирака, описывающее элементарный фермион. Итак, пусть одна из частиц моря с быстротой у,, отсутствует. Разрешенные значения быстрот остальных частиц моря сдвинутся.
По аналогии с § 1.4 введем функцию сдвига
/г(а>*) = -?^ (3.1)
а,+ 1-а,
и получим для нее линейное интегральное уравнение; л
F(a|oth) — ^ J К(a, P)F(p|a,,)^P = ~ ф (а-а„). (3.2)
-л
Напомним, что согласно схеме ультрафиолетовой регуляризации мы должны учитывать лишь те частицы, быстроты которых удовлетворяют условию |а|<Л. Оказывается, что в возбужденном состоянии некоторые частицы «выходят за обрезание». Это, например, те частицы, для которых а,<Л, но > Д.
Можно вычислить, сколько частиц осталось в отрезке [ — Л, Л]: z=-l+F(A|a*)-F(-A|ot*). (3.3)
Величина z и называется дробным (или одетым) зарядом возбуждения. Отметим, что при Л -> оо существует предел функции F и дробного заряда z. Важную роль играет производная функции F
f(a/ah) = ^~ F(a\ah). (3.4)
да
При снятии обрезания (Л = оо) уравнение (3.2) явно решается с помощью преобразования Фурье. Приведем фурье-образ функции /:
*¦”«*)<&----------(3.5)
2sh (toy) ch [to (я — у) ]
/(») =
С помощью этой формулы легко вычислить дробный заряд:
+ СО
Z=~l +
/(oOJa=-l+/(0)=-f. (3.6)
2у
— СО
Любопытно отметить, что дробный (одетый) заряд получается из затравочного (равного — 1) с помощью стандартного одевающего уравнения аналогичного уравнению (11,5.1):
z(a) — — V ’ 2п
К(а, P)z(P)#=-l. (3.7)
64
ГЛ. III. МАССИВНАЯ МОДЕЛЬ ТИРРИНГА
Вычислим теперь одетые (наблюдаемые) энергию и импульс возбуждения, соответствующего дырке. Рассуждения вполне аналогичны § 1.4, однако следует отметить, что учитывается энергия (импульс) только тех частиц из моря Дирака, которые не вытолкнуты за обрезания ( —A<0Cj<A): л
E,, = Wochafc — т0 J (cha)/(ot|afc)rfot,
(3.8)
kh = m0sba.h — m0 J (sha)/(a|oth)rfot.
Легко убедиться в том, что при Л -> оо интегралы в правой части устремляются к бесконечности.
Чтобы получить конечный ответ для энергии возбуждения, следует устремить затравочную массу т0 к нулю по закону (см. (1.16), (2.10))
Г я —2у
В терминах ренормированной массы Мн: а уя
М„
; ctg ;
тс—2у 2(я —у) получим следующие ответы: я
гн = М„сЪ
a h,
kh = Mh sh
а*.
(3.9)
(3.10)
20т —у) 2 (я — у)
Напомним, что это возбуждение соответствует элементарному фер-миону. В теории существуют возбужденные состояния, соответствующие связанному состоянию фермиона и ангифермиона. Внесем в вакуум связанное состояние п частиц, где
п= 1,...
-1
(3.11)
(см. (1.18)). Наблюдаемые энергия, импульс и заряд этих возбуждений равны:
я . ^ , я
Й„ = М„ ch
2(я — у)
к„ = Мп sh
М„ = 2Mh sin
яу
2 (я —у) = 0.
(3.12)
_2(я — у)
Обсудим теперь матрицу рассеяния фермиона на антифермионе. Есть два состояния рассеяния фермиона на антифермионе с положительной и отрицательной пространственной четностью. Следует рассмотреть две дырки с быстротами и и2 и связанное состояние т частиц с быстротой (чл + а2)/2:
т=-
+ 1.
(3.13)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
65
Пространственная четность этого состояния равна (— 1)т, а полный заряд равен нулю. В основе этой конструкции лежат следующие соображения. В работе [3.6], где вычислен дробный заряд всех связанных состояний (1.18), показано, что только связанные состояния (3.13) могут скомпенсировать заряд двух дырок (3.6). Значение быстроты связанного состояния (3.13) выбрано так, чтобы волновая функция в системе покоя ссг + ос2 = О обладала определенной четностью. Энергия и импульс такого состояния равны сумме соответствующих одночастичных величин (3.10). Матрица рассеяния фермиона на антифермионе вычисляется по правилам, сформулированным в § 1.4. Соответствующие вычисления приведены в [3.6]. Получается, что S-матрица равна:
S±(0) = U + (0)S(0), 0==_2Ц («,-«,), =
2(я —у) я —7
S(0) = exp
dx sh [2(0x/y']sh [х(я — y')/y'
shxch [я xjy' ]
0
^/Я4^т]; и _ (9)=- -Ня (-.я t e)/(2tU, (3.14)
sh [я (in — 0)/(2y')] ch [я ((я — в)/(2у') ]
Матрица рассеяния связанных состояний получается из этой по вычетам [3.15; 3.20]. Ее явный вид приведен, например, в работе
[3.6]. Матрица рассеяния нескольких частиц равна произведению парных.
Заключение
Мы изложили последовательное решение массивной модели Тирринга с помощью анзатца Бете. Вычисление наблюдаемых характеристик, проведенное в настоящей главе, служит примером для
