Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
вычисления наблюдаемых величин во всех интегрируемых моделях квантовой теории поля. Массивная модель Тирринга была решена в работах Березина и Сушко [3.2], Лютера [3.17], Такера [3.10],
Корепина [3.6]. Следует упомянуть о том, что в работе [3.17]
массивная модель Тирринга была получена пределом из XYZ
магнетика Гейзенберга.
S-матрица рассеяния фермионов в массивной модели Тирринга совпадает с матрицей рассеяния солитонов в модели синус-Гордон, предложенной Замолодчиковым [3.3]. В массивной модели Тирринга эта S-матрица была вычислена динамически в работе [3.6], которой мы следовали выше; этот метод был в дальнейшем использован для других моделей [3.8]. Эквивалентность массивной модели Тирринга и модели синус-Гордон была установлена Колеманом [3.12] и Мандельштамом [3.18] (см. также [3.9)]. В части II мы увидим, что уравнения Бете для квантовой модели синус-Гордон совпадают
66
ГЛ III МАССИВНАЯ МОДЕЛЬ ТИРРИНГА
с уравнениями Бете для массивной модели Тирринга (то же касается выражений для энергии и импульса), следовательно, совпадают все наблюдаемые величины. Отметим, что модель синус-Гордон много исследовалась по теории" возмущений. ^ В работе [3.1] с помощью фейнмановской диаграммной ’ техники была вычислена матрица рассеяния основных частиц в этой модели (соответствующих связанных состояний в массивной модели Тирринга) и было продемонстрировано отсутствие множественного рождения на поверхности масс. Вычисление диаграмм существенно упрощается, если использовать теорему о вычислении однопетлевых диаграмм по вычетам [3.4]. Фермионы в модели Тирринга соответствуют солитонам в модели сннус-Гордон (солитоны—это частицеподобные решения классического уравнения). В работах [3.7; 3.13; 3.14] было построено квазиклассическое квантование солитонов. Был предсказан спектр масс (3.12), и было вычислено квазиклассическое приближение для S-матрицы вплоть до экспоненциально малых по постоянной Планка вкладов [3.5].
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ I
Мы проиллюстрировали основные идеи применения техники координатного анзатца Бете на примере трех важнейших моделей. Надеемся, что нам удалось убедить читателя в том, что этот подход дает мощный метод анализа интегрируемых моделей и позволяет вычислить многие их характеристики, представляющие физический интерес. Естественно, что мы не смогли прокомментировать многие из решенных моделей, не коснулись мы и обобщения анзатца. Заинтересованного читателя отсылаем к книгам и обзорам [1.1—1.8]. В то же время многие задачи не удается решить в этих рамках, например, важнейшую задачу о вычислении корреляционных функций.
Ч а с т ь II
КВАНТОВЫЙ МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
ВВЕДЕНИЕ ' с
В этой части последовательно излагается квантовый метод обратной задачи. В гл. IV приведены основные положения классического метода обратной задачи, необходимые для квантования. Вводится представление нулевой кривизны,^ обсуждается гамильтонова структура интегрируемых моделей и бесконечный набор законов сохранения. Наиболее удобный инструмент анализа гамильтоновой структуры — это классическая r-матрица. Обсуждаются некоторые конкретные модели. Гл. V посвящена собственно квантовому методу обратной задачи. Вводится 0 Я-матрица—центральный объект в этом методе. Обсуждается _ уравнение Янга—Бакстера, которому удовлетворяет Я-матрица. Излагаются основные положения метода, обсуждается ряд примеров. В гл. VI излагается алгебраическая формулировка анзатца Бете. Это одно из основных достижений квантового метода обратной задачи. В этой главе вводится понятие детерминанта матрицы перехода в квантовом случае. Именно алгебраический анзатц Бете позволит вычислить корреляционные функции в части III.
В гл. VII излагаются интегрируемые модели квантовой теории поля на решетке. Квантовый метод обратной задачи позволяет перенести непрерывные модели теории поля на решетку с сохранением Я-матрицы. Для классических моделей это означает сохранение структуры переменных действие-угол при переходе на решетку. В квантовом случае это приводит к сохранению матрицы рассеяния. Для релятивистских моделей теории поля (таких как синус-Гордон) решеточный вариант модели позволяет решить проблему ультрафиолетовых расходимостей наиболее строгим способом. Явный вид решеточных L-операторов позволяет проклассифицировать все интегрируемые модели, связанные с данной Я-матрицей.
Следует отметить тесную связь квантового метода обратной задачи со следующими методами современной математической физики. Во-первых, этот метод связан с анзатцем Бете. Во-вторых, с методом решения двумерных решеточных моделей классической статистической физики. В дальнейшем мы будем сокращать название «квантовый метод обратной задачи» до КМОЗ. Отметим, что физические характеристики частиц—одетые энергия, ймпульс, S-матрица—вычисляются в рамках КМОЗ так же, как и в рамках координатного анзатца Бете, поэтому мы не останавливаемся на этом.
68
ГЛ. IV. КЛАССИЧЕСКАЯ г-МАТРИЦА
Глава IV
КЛАССИЧЕСКАЯ г-МАТРИЦА
В настоящее время метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) является развитой областью математической физики. В этой главе мы приведем лишь те сведения, которые необходимы для квантования. В § 1 сформулированы понятия представления нулевой кривизны, матрицы перехода, тождеств следов. Классическая r-матрица вводится и обсуждается в § 2. она позволяет вычислять скобки Пуассона матричных элементов матрицы перехода (и строить переменные действие-угол). В § 2 объясняется, что наличие r-матрицы гарантирует существование представления Лакса. Сама r-матрица удовлетворяет некоторому билинейному соотношению (классическому уравнению Янга — Бакстера). Наличие r-матрицы гарантирует наличие бесконечного количества законов сохранения, которые существенно ограничивают динамику. В следующей главе понятие r-матрицы будет перенесено на квантовый случай. В первых двух параграфах общие положения демонстрируются на примере простейшей динамической модели — нелинейного уравнения Шредингера (следует упомянуть, что в классическом случае это название более естественно, чем название «одномерный бозе-газ»), В § 3 рассмотрены другие конкретные модели — уравнение синус-Гордон и модель Михайлова—Шабата—Жибера.
