Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Потенциал W равен
W(x\X) = <%-1(х)дхУ(х)+^<%-1(х)ог<%(х) + <%-1 (х)П(*)%(x). (1.25)
Матрицы °Uk определяются из условия, чтобы потенциал W был диагонален. Таким образом, легко получить, что
<%l = iozQ, аиг = —дх?1, <%3 = 10г( — д2С1+П3). (1-26)
Для потенциала W получаем
Ж^^ + Г^^Х'^г + Г^з + О^"4). (1.27)
Здесь
W^-io.O2, Щ=-П8ХП, Щ = 10г[Пд2П-П4]. (1.28)
Благодаря диагональности потенциала W уравнение (1.24) для D легко интегрируется:
лс
D(x, y\X) = exp{-$W(z\X)dz}. (1.29)
У
Положим теперь у = 0, x=L; в силу периодических граничных условий ati(L) = ati(0). Тогда из (1.17), (1.22) следует, что detD(L, 0) = 1, a D представимо в виде
D(L, 0|A.) = exp{azZ()t)}. (1.30)
Здесь Z(X)—скалярный множитель. Из выражений (1.27) — (1-29) получаем для Z:
Z(X)=~~ + ic(X-l^ + X'2P+X-3H+0(X-4)). (1.31)
72
ГЛ. IV. КЛАССИЧЕСКАЯ г-МАТРИЦА
Вследствие периодических граничных условий x(A.)=trr(A.)=trZ)(L, О |А.),
(1.32)
причем при k->ioo имеем Dxl(L, {)\Х)'» D2i(L, 0|А.). Это позволяет вычислить 1пт(А.), исходя из формул (1.30)—(1.32), и получить формулу (1.21). Итак, тождества следов доказаны.
§ 2. Классическая г-матрица
Для того чтобы построить переменные действие-угол, необходимо научиться вычислять скобки Пуассона между матричными элементами матрицы перехода. Существует особенно эффективный способ вычисления таких скобок Пуассона, основанный на классической r-матрице. При этом удобно воспользоваться тензорными обозначениями. Тензорное произведение двух матриц А и В (размерности КхК каждая), зависящих от динамических переменных, определим обычным образом—А® В (матрица размерности К2 х К2). Важную роль играет матрица перестановки П размерности К2 х К2, обладающая следующим свойством:
Это соотношение выполняется для всех числовых матриц А и В. Минимальная размерность матрицы П — 4x4; в этом случае матрица П имеет вид
Определение. Скобки Пуассона тензорного произведения {/1(^)В} — это матрица размерности К2хК2. Элемент этой матрицы равен скобкам Пуассона одного из элементов матрицы А с одним из элементов матрицы В. Элементы матрицы {А^В} расположены в том же порядке, что и элементы матрицы А®В. (Тензорные обозначения детально обсуждаются в Приложении.)
Сформулируем теперь основную теорему о скобках Пуассона матрицы перехода в непрерывном случае.
Теорема 1. Если скобки Пуассона между элементами матрицы V(x\X) представимы в виде
{К(х|Х)^0|ц)} = 6(х-7) [г(\, ц). V{x\X)®I+I®V(x\\i)], (2.3)
{Т{х, у\Х)<$Т(х, >>|ц)}= [Т(х, }'\Х)®Т(х, y\\i), r(k, ц)]. (2.4)
Квадратные скобки в правой части означают матричный коммутатор двух К2 у. К2-матриц; г—это числовая К2 х К2-матрица с элементами,
П(А®В)П=;В®А.
(2.1)
(2.2)
то скобки Пуассона элементов матрицы перехода равны
§ 2. КЛАССИЧЕСКАЯ r-МАТРИЦА
73
зависящими от X и ц, действующая в тензорном произведении двух пространств.
Доказательство. Матрица перехода Т(х, у|А) зависит от динамических переменных только через потенциал У(х\Х). Поэтому скобки Пуассона ее матричных элементов можно записать так:
{Ту(к), ruGOHf&xf (8Гу(х, у\Х)/Ь Vab(z,\X))x
х(5Ги(дсГц^/S(г„||Х)){К.*(zrx|Я.), Кс„(2ц|ц)}(2.5) Вариационная производная Т(Х) по V(X) вычисляется так:
лс
5 Т(х, у | X) = - J Т(х, z | X) 5 V(z IX) T(z, у \ X) dz. (2.6)
У
Подставим эту формулу в (2.5) и перепишем ее в тензорных обозначениях:
X X
{Т(х, у\Х)®Т{х, y\\i)} = \dz^(T(x, z^\X)®T(x, zjn))x
У У
х {V(zk | X) ® K(zM | ц)} (T(zk, у IX)® Г(г„, у | ц))dz„. (2.7) С помощью (2.3) находим
лс
{ Т(х, у \ X) ® Т(х, у | ц)} = J(Т(х, z | Ц®Т(х, z \ ц)) х
У
х [г(А, и), V(z I X)®I+I® V(z I ц)] (T(z, у \ X) ® T(z, у | ц)) dz. (2.8) Из (1.6), (1.7) следует, что
д, Т(х, у \Х)= Т(х, у | X) У (у | X). (2.9)
С помощью этих соотношений исключим F(z) из (2.8):
{Т(х, у\Х)®Т(х, j|(i)} =
дг
JZ{{T{X> z\X)®T(x, z\\i))r(X, v){T(z, j|A)® T(z, y\v)))dz. (2.10)
У
Вычисляя интеграл от полной производной и используя (1.7), получим формулу (2.4). Теорема доказана.
С помощью r-матрицы можно вычислить скобки Пуассона матрицы и в дискретном случае.
Теорема 2. Если скобки Пуассона между элементами L(А) представимы в виде
{L(*|A)®L(/|n)} = 8fci[L(/C|A)®L(/|n), г(А, ц)], (2.11)
то скобки Пуассона матрицы Т(А) имеют вид
{Т{п, т\Х)®Т(п, т|ц)} = [Г(и, т\Х)® Т(п, т|ц), г(А, ц)]. (2.12)
74
ГЛ IV КЛАССИЧЕСКАЯ г-МАТРИЦА
Теорема доказывается по индукции. Соотношение (2.11) составляет базу индукции, а ее шаг проводится следующим образом. Рассмотрим
Т(п+1, m\X) = L(n +11А.)Т{п, т\Х). (2.13)
Из (2.11) следует, что {L(n+1| А) ® Г(п, т\ р)} =0. Предполагая верным
(2.12), легко показать с помощью элементарных вычислений справедливость равенства
{7’(я+1, т\Х) ®Т(п+1, т|ц)} =
= [Г(л + 1, m j Л.) (Я) Т(п+1, т|ц), г(Х, ц)]. (2.14)
Это завершает индукционное доказательство.
Отметим, что r-матрица, входящая в соотношения (2.4), (2.12), сама должна удовлетворять некоторому соотношению. Матрица г действует в тензорном произведении двух векторных пространств (размерности К). Рассмотрим тензорное произведение трех векторных пространств (размерности К каждое). Соотношение на г-матрицу имеет вид
