Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
[г1з(А., v), г23(ц, v)] + [r12(A., ц), r13(X, v) + r23(n, v)] = 0. (2.15)
Здесь индексы у r-матрицы указывают номера пространств, в которых она действует нетривиально (см. Приложение 1). Квадратные скобки в (2.15) означают коммутатор.
Как следует из (2.4), r-матрица определена с точностью до скалярного слагаемого а(Х, \i)E (.Е—единичная К2хК2-матрица, а—произвольная числовая функция). Матрицу г (А., ц) можно выбрать «антисимметричной»: г(Х, ц)= — Пг(ц, А.)П (П — матрица перестановки). Соотношение (2.15) называется классическим уравнением Янга — Бакстера; оно является следствием тождества Якоби, которому удовлетворяют скобки Пуассона (2.12). При совпадающих аргументах г-матрица имеет полюс, поэтому при A=p = v соотношение (2.15) нуждается в доопределении [4-11 ]•
Приведем пример простейшей г-матрицы:
г(Х, ц) = -^-П. (2.16)
К — [1
Это и есть классическая r-матрица для нелинейного уравнения Шредингера.
Отметим, что существование r-матрицы для данного потенциала V (2.3) или L-оператора (2.11) заранее не очевидно, тем не менее для большинства моделей, решенных с помощью МОЗР, они существуют. Важным следствием существования r-матрицы является наличие бесконечного числа законов сохранения. Действительно, из
(2.4), (2.12) и определения (1.9) следует, что
{х(А), т(ц)} = 0.
(2.17)
§ 2 КЛАССИЧЕСКАЯ r-МАТРИЦА
75
Для доказательства достаточно вычислить след равенства (2.4) как матрицы К2хК2 и вспомнить о том, что след тензорного произведения матриц равен произведению их следов. Тождества следов позволяют переписать соотношение (2.17) в виде {Н, т(ц)} = 0, т. е. т(ц) является производящим функционалом интегралов движения.
Фундаментальность r-матрицы состоит в том, что она заменяет оператор эволюции во времени t/(x|A.) (1.2). Можно доказать [4.12], что если задан гамильтониан, скобки Пуассона и существуют потенциал F(L-onepaTop), r-матрица и тождества следов, то исходное нелинейное уравнение представимо в форме (1.1) ((1.3)). Поясним конструкцию оператора эволюции во времени С/(х|А.) в непрерывном случае. Для этого заменим производную по времени 8, V в представлении (1.1) на скобки Пуассона с гамильтонианом: 8,V={H, V}. Так как гамильтониан порождается следом матрицы монодромии т(р) с помощью тождеств следов, то достаточно рассмотреть СП следа матрицы монодромии с потенциалом.
Теорема 3. Имеет место представление нулевой кривизны
{т(ц), V(x\X)} = 8xU(x\X, ц) + [К(х|А.), U(x\Х, ц)]. (2.18)
Здесь слева стоят скобки Пуассона, а квадратные скобки справа означают матричный коммутатор двух матриц К х К.
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1. В левой части (2.18) т—скаляр, а V—матрица. Удобно занумеровать пространство, в котором она действует, номером 2, и ввести дополнительное пространство с номером 1. Перепишем (2.18) в виде:
Ми), V2(x\X)} = 8xU2(x\X, »)+[У2(х\Х), U2(x\X, ц)]. (2.19)
Здесь U2 можно представить как след в пространстве номер 1:
U2(x\X, n) = tr1(7’1(L, х\ц)г12(ц, ЦТ1 (х, 0|ц)). (2.20)
Индексы означают номера пространств, в которых действуют матрицы, а Т—это матрица перехода (1.6). Величину U2 (2.20) естественно назвать порождающим функционалом операторов эволюции во времени. Аналогичная теорема имеет место и для моделей на решетке. Основываясь на теореме 3, мы не будем приводить операторов эволюции во времени в примерах § 3.
Введение r-матрицы позволяет вычислить скобки Пуассона между данными рассеяния (в равенстве (2.4) следует перейти к пределу L->oo [4.21]). Таким образом, задание r-матрицы фиксирует структуру переменных действие-угол, что в свою очередь подсказывает идею построения решеточных вариантов непрерывных моделей теории поля. При замене непрерывного оператора Лакса (8Х +V) на дискретный L(n\X) следует сохранить явный вид r-матрицы. Это гарантирует сохранение структуры переменных действие-угол при переходе из непрерывного случая на решетку.
76
ГЛ. IV. КЛАССИЧЕСКАЯ г-МАТРИЦА
§ 3. Примеры
В настоящем параграфе приведены примеры вполне интегрируемых лоренц-инвариантных нелинейных эволюционных уравнений.
1. Модель синус-Гордон (СГ). Уравнение движения модели
(5,2-52)M+(m2/P)sin(pM) = 0 (3.1)
гамильтоново. Гамильтониан, импульс и заряд модели имеют вид:
H=\i^2+\{Sxu)2+~{\-cos^u))dx,
P=—\ndxudx, Q =
1 п
дхи dx.
(3.2)
(3.3)
Здесь п(х) = 8,и(х), {п(х), и(у)} = 8(х—у). Эта модель имеет много физических приложений. Для нас она интересна как нетривиальная модель релятивистского скалярного поля. Уравнение движения имеет представление нулевой кривизны. Потенциал равен:
F(x|A.)-f fra/2) sh(-X + №»(x)/2))\
\ (m/2) sh (X + (i$u (x) j 2)) —ipjt (x)/4 J
a L-оператор на инфинитезимальной решетке:
т,..\ ( '“'fW4 (/я А/2) sh (X—(/р«я /2)) \
L{n\X) = \ ). (3.5)
\ -(mA/2)sh(X+(ip««./2)) 1 + <ЙР./4 )
Здесь
я (x)dx, [pn,um} = 5„
(3.6)
'{Ъ И) =
Классическая г-матрица (2.3) имеет вид 0 0 0 0 "
0 гЦ гЦ О 0 r?J г\\ О 0 0 0 0 ^
с ненулевыми матричными элементами (угр2/8):
r22 = rjl = ycth(X-\i), г\1 = гЦ= — y/sh(A.—ц).
Тождества следов можно найти, например, в книгах [4.5; 4.17]. Для последовательного квантования необходимо перенести модель на решетку. Тождества следов для решеточной модели синус-Гордон построены в § VII.2, они отличаются от непрерывного случая. Важную роль играют свойства симметрии
