Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Заключение
Эту главу можно рассматривать как введение в магнетик Гейзенберга. Мы надеемся, что нам удалось донести до читателя красоту этой модели. Подчеркнем, что при вычислении корреляционных функций в частях III, IV будут использованы результаты этой главы, особенно при вычислении критических индексов, описывающих степенное убывание корреляторов на больших расстояниях при нулевой температуре. Мы вернемся к магнетику Гейзенберга в части II в рамках квантового метода обратной задачи, который открывает новые широкие возможности в исследовании этой модели.
Из-за ограниченности объема в эту главу не вошел ряд результатов по теории магнетика Гейзенберга. Заинтересованного читателя отсылаем к работам [2.5; 2.6; 2.10; 2.11; 2.7], в которых приведена подробная библиография. Одномерная модель Гейзенберга интенсивно изучается со времени решения Бете ее изотропного варианта [2.8]. Следует особо упомянуть о работе Хюльтена [2.13], в которой найдено основное состояние модели в термодинамическом пределе. Метод Бете был применен Янгами для решения XXZ модели [2.16—2.18], его развитие позволило Бакстеру [2.7] решить XYZ модель. Термодинамика модели изучена в работах Такахаши [2.14; 2.15], при этом важную роль играют связанные состояния. Следует отметить работы, в которых исследуется вопрос о полноте собственных функций XXZ магнетика [2.2; 2.3]. Цепочка Гейзенберга анализировалась не только с помощью точного решения, но и с помощью численных методов [2.9].
/д(Л) = ф + (0)= lim ( — ioo)ф4 («).
(П. 20)
58
ГЛ. III. МАССИВНАЯ МОДЕЛЬ ТИРРИНГА
Глава III
МАССИВНАЯ МОДЕЛЬ ТИРРИНГА
Массивная модель Тирринга, введенная в работе [3.19] — исторически первая модель релятивистской квантовой теории поля, которая была решена с помощью анзатца Бете. В настоящей главе излагается последовательная теория этой модели. В § 1 построен анзатц Бете. В § 2 строится основное состояние гамильтониана (физический вакуум) как море Дирака, вводится ультрафиолетовое обрезание и обсуждается перенормировка массы. В § 3 описываются возбуждения над физическим вакуумом, вычислены их энергия, импульс и матрица рассеяния. Вводится дробный заряд (одетый заряд возбуждений). Обсуждается «выталкивание за обрезание» — явление, благодаря которому одетый заряд отличается от голого (целого) заряда.
Необходимо отметить, что массивная модель Тирринга эквивалентна другой модели релятивистской квантовой теории поля — известной модели синус-Гордон. Эта эквивалентность будет обсуждена в части II.
§ 1. Анзатц Бете
Массивная модель Тирринга—это релятивистская модель квантовой теории поля в двумерном пространстве-времени. Она описывается квантовыми ферми-полями v(/t(x, t) (k= 1,2) и v(/t+ (х, t) (крест означает эрмитово сопряжение, к—спинорный индекс) с каноническими одновременными перестановочными соотношениями:
Фигурные скобки означают антикоммутатор; временной аргумент у полей \|/ здесь и ниже опускается. Лагранжиан модели имеет вид
Дираковское сопряжение определено как обычно: \|/ = \|/+у°. Поле \|/ рассматривается как двухкомпонентный спинор. Положительная величина т0 имеет смысл затравочной (голой) массы фермиона; g— это затравочная константа связи. Гамильтониан Н, оператор импульса Р и оператор числа частиц Q имеют вид:
Н=\й?х[\|/+ст2дх\|/ + т0\|/ + cj;cvl/ + 2gvl/1+ v|/2+ v)/2^i], (1-5)
{Ы*Х 'I'/+ 0,)} = 'М-,0'1'/+0) + '1'/+ (7)^(х) = 5н5(х-7), {v|/*(x), v|/;(7)} = {vl/t+ (x), v|/,+ (;f)}=0.
(1.1)
& = I [г'4гУц Зц\|/~ w0vj/v|/--g: (vj/Y»(vj/YM v|/):] dx.
(1.2)
Матрицы у выбраны следующим образом: Напомним, что мы используем матрицы Паули
(1.3)
(1.4)
Р=—i$dx\\>+дх\J/, g = Jdx\|/+\|/.
(1.6)
§ 1 АНЗАТЦ БЕТЕ
59
При построении собственных функций важную роль играет фоковский вакуум |0> и дуальный вакуум <0|, определенные соотношениями:
*(*)|0> = 0, <0|i|/+(x) = 0, <0| = (|0» + , <0|0> = 1. (1.7)
Совместные собственные функции операторов Н, Р, Q строятся аналогично тому, как это было сделано в § 1.1 для одномерного бозе-газа. Будем искать их в виде
= J«(xu..., ATjvlPi,Pjv) vt/j*; (jCi)... (jr^)IO). (1.8)
Для того чтобы ! Tv) была собственной функцией гамильтониана
(1.5), необходимо и достаточно, чтобы % была собственной функцией (с тем же собственным значением) следующего JV-частичного квантовомеханического гамильтониана Ж N\
N
•%’n= X 11=1
ICT?> —+ /и0ст?>
дх к
+ 2g ? $(хк-хп). (1.9)
к<п
В одночастичном секторе (JV = 1) собственная функция %J представляет собой двухкомпонентный спинор:
х(*|р)=( „/2 (1.Ю)
причем соответствующее собственное значение энергии есть m0ch (3. Отсюда следует, что Р имеет смысл быстроты релятивистской частицы. Энергия и импульс этой частицы равны
Е=т0сЪ.$, /5 = «j0shp. (Ill)
Многочастичная волновая функция имеет вид:
гн М*ъ xjvIPi, Р*)= =Z(-i)[P]j П %Л(^1Рр1)}пехР |^е(^-^)ф(Рр,-Рр1)|- (i-i2)
Р (к= 1 ) к<1 Lz J
Суммирование ведется по всем перестановкам Р чисел 1 ,...,N:
Р: (1,..., N)I > (р 1, ...,pN);
s(x) = signх = х/\х\— знаковая функция. Парная матрица рассеяния S равна:
р ^ -4- Р
8 = е-«,(Р) = е-‘в JLZ-
