Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся на содержании главы. В § 1 построены собственные функции гамильтониана XXZ магнетика Гейзенберга во внешнем магнитном поле. Выведены уравнения Бете. В § 2 обсуждаются связанные состояния, имеющиеся в модели. Построено основное состояние гамильтониана (в рамках анзатца Бете для этого надо заполнить море Дирака). В § 3 вычислен ряд важных физических характеристик модели, таких как магнитная восприимчивость и фер-миевская скорость, обсуждается реакция модели на магнитное поле. В § 4 рассмотрен изотропный случай магнетика Гейзенберга. В § 5 обсуждаются различные интегральные представления для намагниченности. Вводится функция дробного заряда Доказан ряд интег-
ральных тождеств, которые будут важны при вычислении корреляционных функций в части IV. При первом чтении этот параграф можно пропустить.
§ 1. Уравнения Бете для XXZ магнетика
Гамильтониан Н магнетика в постоянном внешнем магнитном поле /г, направленном по третьей оси, запишем в виде:
Число М узлов периодической решетки (<т(М + 1) = <т(1)) будем считать четным. Оператор Sz третьей компоненты полного спина есть
Н= H0 — 2hSz,
0.1)
м
Н0=- ? {а<Г)ст<Г+1) + а(т,ст<Г + 1) + А(ст<т)ст<т+1)-1)}.
(1.2)
т = 1
т = 1
(1.3)
Изменение знака гамильтониана Н0 сводится к изменению знака
константы А благодаря существованию преобразования подобия
§ 1. УРАВНЕНИЯ БЕТЕ ДЛЯ XXZ МАГНЕТИКА
43
М/2
Н0( — Д)= — ^Яо(Д)^ _1 с оператором подобия °U= ]j[ а[2т). Заметим
т= 1
также, что достаточно рассмотреть положительные магнитные поля И,
поскольку изменению знака поля соответствует преобразование подобия м
Hi^ -1; 'f — \\ ст<“). Параметр анозотропии Д(—оо<Д< + оо)
т = 1
определяет физическую природу модели. При Д > 1 основное состояние гамильтониана (состояние с наименьшей энергией) в нулевом магнитном поле является ферромагнитным, и модель описывает ферромагнетик (точка Д = 1 соответствует изотропному ферромагнетику). При Д < 1 намагниченность в основном состоянии равна нулю (при нулевом магнитном поле); точка Д = — 1 соответствует изотропному антиферромагнетику. Это будет продемонстрировано ниже.
Заметим, что основное внимание будет дальше уделено области
— К Д < 1; именно эта область наиболее интересна с точки зрения изучения корреляционных функций, так как здесь щель в спектре гамильтониана равна нулю и при нулевой температуре корреляции убывают степенным образом. В этой области удобно запараметризо-вать параметр анизотропии в терминах «константы связи» г|:
A = cos2r|, —UA<1, л^2г|>0. (1.4)
Приступим к описанию бетевских собственных волновых функций гамильтониана, т. е. к построению анзатца Бете. Заметим, что оператор Н0 (1.2) коммутирует с оператором Sz (1.3); собственные векторы гамильтониана поэтому выберем так, чтобы они были и собственными векторами Sz (и Н0). Базисные векторы в т-м узле решетки обозначим |f>m и ||>т, определив их следующим образом:
^т)|Т)т = 1Т)т; CTzm)| |>т= — I |>т>
П<т>т = П<Ш>т = 5™; »<Т1 1>т.= П<Ш>т = 0. (1.5)
Важную роль среди собственных векторов гамильтониана будет играть ферромагнитное состояние |0>:
м м
|0)s®|t)m, Я|0>=-Ш|0>, ?|0>=т|0>. (1.6)
т= 1 /-
Заметим, что в теории существует еще одно ферромагнитное состояние |0'> с противоположным значением спина: м м
|0'>= ® ||>т, ?|0'>=--|0'>. (1.7)
т= 1 ^
Введем, как обычно, локальные повышающие и понижающие спиновые операторы ст+:
СТ?)=1(СТ(Г) + /СТ(Г,)); [cW ст*"*] = ±28т„ст<"), [ст?>, ст?)] = [ст<™), ст<")] = 0, (ст<+))2 = (ст<™))2 = 0.
(1.8)
44
ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЙ МАГНЕТИК ГЕЙЗЕНБЕРГА
Действуя операторами ст(") на ферромагнитное состояние |0>, получаем собственные векторы оператора Sx:
5^Пст^|0> = |у~л||0>, т^т^фк). (1.9)
Собственные векторы состояния I'Fjv) гамильтониана запараметризуем «спектральными параметрами» Xa(a=l,...,N) (вообще говоря, комплексными):
Я|Ч'1У(Х1,...Д№)> = ^(Х1,...ДЛ)|^(Х1,...ДЛ)>. (1.10)
Анзатц Бете для | *FV) строится по аналогии с одномерным бозе-газом
(1.19):
|4'N(XI,..alv)>=i? ? xN(ml,...,mN)a^\..^>\0), (1.11)
* m, .,mN— 1
где волновая функция %N дается формулой X N(m1,...,ms) =
= ?(-l)telexp V I sign(A«p—т«)Ф(Х^, (1.12)
Q ( а=1 J
Здесь суммирование ведется по всем ЛИ перестановкам Q={qa, <x=l,...,N} чисел 1, 2, ..., N; sign л: = л:/1 лг | — знаковая функция; «импульс» ро 0.) и двухчастичная фаза рассеяния Ф(л, ц) следующим образом выражаются через X:
/>о (^) = г In [ch (А. — гг|) / ch (X, + г г|)], />о(0) = 0, (1.13)
Ф(Х, |i) = /ln[sh(X — |i + 2/ri)/sh(X — (i— 2гг|), Ф(— со, 0) = 4r(. (1.14)
Фазу Ф (л, (i) можно представить в виде
Ф(Х, ц) = 0(Х-ц) + л; (1.15)
здесь 0 (/.) — антисимметричная функция, причем
0(^)^*л-4т1- ^1Л6) Вектор |Ч* > (1.11) является собственным вектором (1.10) гамильтониана, если спектральные параметры K(r/.= I,..., А') удовлетворяют системе уравнений Бете, выражающей периодичность волновой функции xN (см. (1.2.2)):
ехр {-фо(Х0[)Л/}=ехр|/ ? Ф(Х,, Хр)|. (1.17)
В логарифмическом виде система уравнений Бете имеет вид, аналогичный (1.2.13):
N
Мр0(К)+ ? e(Xa-Xp)*=2iwa, а= 1, (1.18)
е=1
