Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
9 = 2 + 4(rctgr|tg2r|) 1VX-h. (5.14)
Здесь мы воспользовались формулой (3.19).
Для слабых магнитных полей, решая уравнения (5.1) методом Винера—Хопфа, получим:
9 = ^-[1+ое1/г2] (/г->0, 0<2ri <2л/3), (5.15)
п\
е=~[1+ое2А(2,,/,1)-4] (й->0, 2тс/3<2ц<п).
ZT|
(5.16)
54
ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЙ МАГНЕТИК ГЕЙЗЕНБЕРГА
Видно, что зависимость 0 от й определяется величиной константы связи г(, причем она существенно различна для 2ц больших 2я/3 и меньших 2я/3 (см. также формулы (П.8; П.9)). Коэффициенты у.1 и а2 являются функциями г):
^Jt —2гД2 ctg [т!Г|/(л: — 2ri)]
ai =
8ri sin2 2г|
а2= — e^tg (
Jt
Здесь й0 определено в (3.11), а (5 — в (3.12).
В случае изотропного XXX магнетика Гейзенберга, воспользовавшись формулами (4.6) и (П. 19), имеем для слабых магнитных полей:
0 = 1 + [2 In (h0/h)]-\ h0=(8n3/e)112, (5.17)
а для полей, близких к критическим:
0 = 2 ^l-^Jhc-hj (й->йс, й<йс). (5.18)
Дробный заряд (5.1) в нулевом поле (при этом Л=со) вычисляется легко: z(A.) = z(0) = Jt/(4r|); это совпадает с величиной «дробного заряда» элементарного возбуждения в массивной модели Тирринга, полученной в гл. III. Заметим, что при Л больших, но конечных, г(А.)~я/4г| только при |А.|<?;Л. Поэтому при вычислении в пределе Л->оо величины z(Л), входящей в определение критического индекса 0, надо воспользоваться методом Винера—Хопфа (см. (П. 20)). В результате получаем:
limz(A) = 4/limz(0) = N/7r/(4rl)- (5-19)
Л —*¦ 00 Л-*СО
Отсюда и из (5.15), (5.16) следует, что в XXZ модели в нулевом магнитном поле
0 = ^ (й = 0). (5.20)
Для XXX модели из (5.17) имеем
0=1 (й = 0). (5.21)
Сделаем небольшое отступление и снова рассмотрим бозе-газ. Покажем, что для этой модели
4л?>
(^ Г2 (l+Jt/(2ri)) k _ 2п/п + 4
\2г1/ Г2(— 1/2 +Jt/(2ri)) 0
V
(5.22)
здесь D — плотность (1.3.8), а v — скорость звука (1.7.17). Сравнивая уравнения (5.1) и (1.3.7), получим для бозе-газа г(л) = 2лр (А.). Тогда, согласно (5.13) (A = q):
е = 2я^. (5.23)
ПРИЛОЖЕНИЕ
55
Правую часть легко вычислить, воспользовавшись Приложением 3 предыдущей главы Действительно, из (П 3 2), (П 3 4) и (П 3 8) следует равенство
8D 2D
ал=Т <524>
и утверждение (5 22)
ПРИЛОЖЕНИЕ
Здесь мы приведем способ решения уравнений (2 6) (2 9), (5 1) в пределе Л->оо, восходящий к работе [2 17] и состоящий в сведении интегра ггьного уравнения на конечном интервале к уравнению типа Винера—Хопфа Все упомянутые уравнения являются уравнениями вида л
1
Ых)~Тк J K(x~yy*b)dy = '?(x) (П 1)
-л
с симметричной правой частью Ч'(х) = Ч'(~х) В работе [2 17] доказано, что это уравнение имеет единственное решение для любых значений Л Ядро К(х) и функция Ч'(х) определены для всех значений аргумента — оо<х< + оо Будем считать, что уравнение (П 1) определяет функцию /(х) как для |х|<Л, так и для |л:|>Л Определив функции /д и /Л как
,+ (/л(х), М=гЛ, (/л(х), \х\<А,
¦^л(л:)=Пп I I л I (П2)
(О, |лг I < Л, (0, |лг | ^ А,
/л(*)=/л 0)+/л (х), получим выражение, эквивалентное исходному (П 1)
K(x-y)fA(>)dy = 'i>(x) (ПЗ)
Наряду с уравнением (П 1) рассмотрим уравнение с бесконечной зоной Ферми (Л = оо)
+ ос
Г,1
/(х)~— I K(x-y)f(y)dy = '?(x) (П 4)
Определим резольвенту R ядра К(х — у) равенством
+ СО
2nR(x—y) = J К(х—z)R(z —y)dz+K(x — у) (П5)
— оо
и преобразуем (П 3) к виду
оо - Л
/л(*)=/(*)-{ R(x-y)ft (y)dy~ | R{x-y)fX(y)dy, (П 6)
Л — оо
56 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЙ МАГНЕТИК ГЬЙЗЕНБЕРГА
здесь f(x)—решение уравнения (Г1.4). Очевидно, что fl(x)=f?(—x), и обозначив /д (Л+х) = <р (.х), получим окончательно:
ОС со
Ч> (*)-/(•* +Л) + | R{x-y)<$>+ (y)dy=-\ R(x+y + 2K)<$>+ {y)dy. (П.7)
о о
Для больших значений Л правую часть (П.7) можно рассматривать как
возмущение. Действительно,
R(Л) ~ ехр<-----— л1 (0< 2r| <2я,3), (П.8)
I я-2П J
R(A) ~ ехр| — — л| (2тг/3<2г| <л), (П.9)
Д(Л)~1/Л2 (2-п = тс). (П. 10)
Приравняв левую часть (П.7) к нулю, получим уравнение Винера — Хопфа:
ОО
<Ро(л)+{ Л(х->-)фо (y)dy=f(x + K). (П.11)
о
Общее решение (П.7) находится методом последовательных приближений: 4>(x) = 4>0(*) + 4>i(x) + 4>2(-)c)+ -
Функции q>fc(.х:) удовлетворяют уравнению Винера—Хопфа вида:
а СО
4>k(*)+ I R(x-y)v?? (у) dy — - f R{x+y + 2k)4?b-l(y)dy. (П.12)
о о
Методам решения уравнений Винера — Хопфа посвящена обширная литература, мы же приведем лишь ответы для фурье-образов
+ ОС ОС
ф(ш)= f етх(fi(x)dx-, ф + (со)= j e,axq>(x)dx:
. + / ч ,G+H f е-'«АФй) Jc /TT1,N
Ч>о(ш) = г-^— ^ .(ПЛЗ)
271 J (^)[ю~5 + г'0]
_+ / ч .е+(ш) Г Jr
Ф ^ (со) = — г —;-- — ——=--------—— (П.14
2* J G, ft)|w-^ + (0]
— ос
Здесь функции G+ и 6 определяются из равенства
1
= G+ (co)G_ (со). G+ (co) = G_ ( — и) (П.15)
1+Д(и)
и условия аналитичности соответственно в верхней (нижней) полуплоскости, включая вещественную ось, причем G+(co)=l. Для 0<2г| <тс
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
57
R( о) =
2ch h юг|
I— Г(1 — ;'ю/2)ехр { —г'юР/2}
(П.16)
G+ ((») = V4t1
ч/4т|-----------------------------------------------------,
Г (1 — icori/jt) Г (1/2 — гсо(1 — 2г) / jr)/2)
(П. 17)
ТЕ
к ) л к
Для 2г| — п
(П. 18)
(О
(П. 19)
Через фурье-образ функции ф+ (а') можно вычислить все интересующие нас наблюдаемые величины. Так, значение функции на границе зоны Ферми определяется из условия
