Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 13

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 84 >> Следующая

я е(М
О +е г) д~^Г~Ь\к{х’ ~'ft~ dVL=YeT р'Wp‘W- (П-2-6)
Это и позволяет доказать необходимое неравенство:
,2 f л Г <2ж)2 f
~~8h2=ThjPp{k) т \dXe T (1+e r JP'(X)>0- {п2л)
Последнее неравенство означает, что
8D 8 С , ,
~8h=8h рЛХ)л>0- Г>0- <П-2'8)
Можно доказать, что это соотношение выполняется и при нулевой температуре: 8D 8л2р3(?)
ЙГ^) • г=0- {П-2-9)
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Докажем эквивалентность двух определений скорости звука (7.16) и (7.17):
v = 8z(\)jdk(\)\^ll = (dz{X)ldX)l(dk{X)ja\)\x = q (П.3.1)
и
v 2 = 2 8&/8D = 2 (80>/8h)/ (8D/8h). (П.3.2)
Сравнивая (3.7) и (3.16), видим, что
8е{Х)18Н=-2кр(Х). (П.3.3)
Соотношение (7.15) показывает, что
40
ГЛ I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
и (4.16) и (3.7) дают
^^ = 2яр(Х)=1+ |/(ц|Х)йц. (П.3.5)
С помощью (П. 2.9) легко свести доказательство эквивалентности двух определений (П. 3.1) и (П. 3.2) к соотношению
е-(*)р(*) = Л (П.3.6)
Оно доказывается следующим образом. Из (4.12) и (4.15) следует, что (см. (П. 1.4) и (3.16)):
йе(Х)
—^ = 2X4-2 д\
(П.3.7)
Дифференцируя (3.7), получаем Подставляя это равенство в тождество
ч
1
X d\ = 2qp{q)-D,
-1
приходим к соотношению (Г1. 3.6), что и завершает доказательство эквивалентности микроскопического (П. 3.1) и макроскопического (П. 3.2) определений скорости звука.
Следует также отметить, что для скорости звука справедливо и выражение
v = 8hjdq. (П.3.8)
Заключение
Мы изложили решение модели одномерного бозе-газа с помощью анзатца Бете. Хотелось бы обратить внимание читателя на некоторые результаты, выходящие далеко за рамки рассмотренной модели. Во-первых, это структура собственной функции (1.26) гамильтониана, и, особенно, свойство двухчастичной неприводимости, которые являются общими для интегрируемых систем. Во-вторых, это уравнения Бете и действие Янга. Выпуклость действия Янга — это решающий факт при доказательстве принципа Паули для взаимодействующих бозонов в § VI.4. При вычислении корреляционных функций в Части III возникнут одевающие уравнения, резрешимость которых удается доказать лишь в этой области. Полученные решения допускают аналитическое продолжение в те области изменения констант вза-
ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЙ МАГНЕТИК ГЕЙЗЕНБЕРГА
41
имодействия, в которых действие Янга не выпукло (например, в XXZ модели). Техника, развитая в этой главе, будет использована в полном объеме при вычислении температурных корреляционных функций в гл. XIII.
Модель одномерного бозе-газа была введена и решена Либом и Линигером [1.9; 1.10], важную роль в развитии теории бозе-газа сыграли работы [1.3; 1.6; 1.12]. Подробный обзор существующих работ можно найти в книгах [1.7; 1.11]. Термодинамика модели впервые была построена Янгами [1.14]. Отметим, что наше изложение в значительной мере основано на их работах [1.13; 1.14]. Метод вычисления матрицы рассеяния с помощью анзатца Бете был разработан в [1.4]. В одномерном бозе-газе матрица рассеяния вычислена в работах [1.2; 1.8]. Термодинамика модели в рамках функционального интеграла исследовалась в [1.5].
Глава II
ОДНОМЕРНЫЙ МАГНЕТИК ГЕЙЗЕНБЕРГА
Модель Гейзенберга, введенная в работе [2.12], описывает взаимодействие спинов 1/2, расположенных в узлах одномерной пространственной решетки. Оператор спина 1/2 есть s = a/2, где компоненты вектора спина—матрицы Паули стх, ау, стг:
°>=(“ о} °’=С °-=(о -“) <01)
с коммутационными соотношениями [стр, ст,] = 2/ер9гстг (р, q, г = х, у, z); ?pqr — полностью антисимметричный тензор; ЕХ),г=1; по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Локальный оператор спина в т-м узле решетки обозначим <т<т); операторы спина в разных узлах решетки коммутируют:
[<>, а«">] = 2г-ервг5т„а«т>. (0.2)
Рассмотрим гамильтониан, описывающий взаимодействие ближайших соседей на цепочке из М узлов: м
Н=- ? {/хст^)ст^+1) + /уа'т)ст«т+1, + /га^)ст«т+1)} (0.3)
т = 1
(предполагаем, что выполнены периодические граничные условия: <Т<М + 1) = <Т(1)). В случае, когда все три вещественные константы /х, 1У, 1г различны, модель получила название XYZ модели Гейзенберга. Важные частные случаи 1Х = 1У Ф /2 и 1Х = 1у — + /, называются соответственно XXZ и XXX моделями.
Историческая роль модели Гейзенберга чрезвычайно велика. Прежде всего она связана с самим возникновением анзатца Бете —
42
ГЛ II ОДНОМЕРНЫЙ МАГНЕТИК ГЕЙЗЕНБЕРГА
в 1931 г. Гансу Бете удалось построить собственные функции изотропного варианта магнетика Гейзенберга [2.8]. Явный вид этих собственных функций теперь называется анзатцем Бете.
Особенно интересно исследовать взаимодействие магнетика Гейзенберга с магнитным полем. Во внешнем магнитном поле модель удается решить в случае частичной изотропии (XXZ магнетик), причем магнитное поле должно быть направлено по оси z. Поэтому ниже будут рассмотрены результаты, которые дает применение анзатца Бете для XXZ модели во внешнем магнитном поле. Поскольку математически метод решения этой модели вполне аналогичен методу решения одномерного бозе-газа, то изложение в этой главе более краткое, чем в предыдущей. Отметим, что система уравнений Бете для XXZ магнетика очень близка к системе уравнений Бете для массивной модели Тирринга, которая изложена в следующей главе. Именно там будет рассмотрена роль связанных состояний частиц, имеющихся в модели.
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed