Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 15

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 84 >> Следующая

§ 1. УРАВНЕНИЯ БЕТЕ ДЛЯ XXZ МАГНЕТИКА
45
Здесь и11(а= 1,АО — набор целых (полуцелых) чисел при N нечетном (четном). Эта система уравнений так же, как и в одномерном бозе-газе (1.2.15) порождается действием Янга
м 1 -
S= I {М/(^)-2лпДЛ + ,'1е(^-Ы (1.19)
а— 1 ^ at, 13
где
X X
p(k) = jpo(li)d[i; §(Х,) = |е(ц)</ц. (1.20)
0 о
Исследуем вопрос о выпуклости действия Янга при вещественных X. Для этого вычислим квадратичную форму матрицы вторых производных:
Ъю^^г^г=мЪр'Л'^)1'г-+1 ЦК, 'ЧЖ--!'Р)2. (1-21)
OK,CKf а а>?
Здесь va—произвольный вещественный вектор, а
Напомним, что мы рассматриваем область 0 < 2г| < п. Из приведенных формул видно, что действие Янга выпукло для вещественных X только в области
0<2г|<л/2. (1-24)
Итак, в этой области можно доказать теорему существования и единственности вещественных решений уравнений Бете. В этой же области удастся доказать принцип Паули (см. § VIA).
Формулы (1.10)--(1.17) дяют чнзатц Beie для л.\А модели. Заметим, что они справедливы как при — l^A^l, так и при А>1, Д<— 1 (в этом последнем случае параметр г| (1.4) чисто мнимый).
Соответствующее собственное значение энергии EN (1.10) дается формулой:
N
en= ? ?o(K)-hM. (1.25)
1
Одночастичная дисперсия е0(Х) выражается через импульс (1.13): ?0(^) = — 2sin2г|—.—+ 2/г = —2sin22r| [сЬ(?1 + гг|)сМ^~гт1)]~1 + 2/г-
иК
П.26)
46
ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЙ МАГНЕТИК ГЕЙЗЕНБЕРГА
Таким образом, соответствующее состояние 14%) можно интерпретировать как N частиц с импульсами р()(L,) (а=1, ..., N) и энергиями е0 (Л,) над антиферромагнитным состоянием |0) (1.6). Возбуждения, соответствующие этим частицам, можно называть спиновыми волнами.
§ 2. Основное состояние
Как и в случае бозе-газа, система уравнений Бете (1.17) определяет спектр разрешенных состояний над ферромагнитным состоянием |0>
(1.6), вполне аналогичным фоковскому вакууму для бозе-газа. Отличие состоит в том, что структура решений уравнений Бете теперь гораздо более сложная; в решениях могут присутствовать и комплексные Ха. Заметим, что импульс р0 (1.13) и фаза рассеяния Ф (1.14) являются периодическими функциями спектрального параметра с периодом in. Поэтому будем отождествлять на комплексной плоскости X точки X и X + inn (п — целое; — х <п< + х). Важным свойством решений уравнений Бете является их самосопряженность: если набор {Х^; а=1, ..., N}— решение уравнений (1.17), то = (звездочка означает комплексное сопряжение) [2.1]. В наборе {Х,»} могут присутствовать как элементарные частицы (самосопряженные)
(1шЛя = 0 или Im Л, = л/2), так и их связанные состояния (группы из нескольких с одинаковой вещественной частью). В области 0<2г|<л/2 можно доказать, что выполняется принцип Паули (см. § VI.4). Итак, будем считать, что все {/.я} в данном решении должны быть различными.
В дальнейшем для XXZ модели будем иметь дело только с «элементарными частицами», спектральные параметры которых расположены либо на вещественной оси 1тЯ = 0 либо на оси Im X = л/2. Заметим, однако, что описание струн в ХХ7 модели [2.15] при числе узлов решетки М-+ оо по существу то же, что и в массивной модели Тирринга, рассмотренной в следующей главе (см. § III. 1).
Именно, быстроты частиц, входящих в струну из п частиц, дают при М—> оо формулой
Х%] = s + ?(\-vn) + ir\(n-2a- 1), 2 ^
lm^ = 0; f„=±l; а = 0, 1, ..., п— 1.
Здесь v„ — «четность» струны. При этом число частиц п в струне не произвольно; разрешенные значения п определяются из условия, что произведение sin [2r| (п — т)\ sin(2r|w) имеет одинаковый знак при любых т— 1, 2, ..., п— 1:
sin [2г| (|1—/n)sin(2r|m)>o ^
sin [2ri (и — 1) sin (2rj)
Перейдем к описанию основного состояния гамильтониана Н (1.1).
В области А 3d, h = 0, как нетрудно убедиться, состояние с наименьшей
§ 2 ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ
47
энергией — это ферромагнитное состояние (1.6). (Заметим, что состояние |0'> (1.7) (все спины вниз) обладает той же энергией, но в интересном физически случае М-> со переходы между состояниями |0> и |0'> отсутствуют.) Поэтому в области А 5= I теория описывает ферромагнетик и устроена особенно просто.
При — 1 ^ Д < 1 и достаточно слабом магнитном поле h ферромагнитное состояние не является основным состоянием гамильтониана (при h — 0 основное состояние является антиферромагнитным). В работе [2.17] доказано, что основное состояние XXZ антиферромагнетика Гейзенберга в области 0 < 2г| ^ л строится так же, как и для одномерного бозе-газа. Целые (или полуцелые) числа па в уравнении Бете (1.18) заполняют все возможные значения (па+х — па= 1) в симметричном отрезке — (N— l)/2^«01<(Af—1)/2.
Опишем основное состояние в области — 1 ^ А < 1 в термодинамическом пределе. Напомним, что этот предел соответствует переходу М-> оо; при этом число элементарных частиц над ферромагнитным состоянием N стремится к оо; отношение N/М фиксировано:
D = N/M (2.3)
и определяет плотность частиц на решетке. Построение основного состояния, с формальной точки зрения, совершенно аналогично построению основного состояния для бозе-газа (см. § 1.3). Рассмотрим систему уравнений Бете для вещественных X; при этом (см. (2.1))
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed