Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
(2.27):
N
Щх) + ? Q(\(x)-\k) = 2nLx. (8.1)
к= 1
Здесь Хк— разрешенные значения импульсов частиц в состоянии термодинамического равновесия. Простейшее возбуждение в каноническом ансамбле (при фиксированном числе частиц) строится путем создания одной дырки и добавления одной частицы. Функция X ( г) при этом изменится; обозначим новую функцию через Х(л'). Уравнение для нее имеет вид
N
ьЦх)+ ? e(X(jc)-X*)-i-e(X(jc)-A.p)-e(X(jc)-A.)1)=2rtLx. (8.2)
к= 1
Здесь Ак — новые значения импульсов частиц, а Хр и Xh— голые импульсы внесенной частицы и дырки. В полной аналогии с (4.10) и (4.20) определим функцию
36
ГЛ. i ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Выкладки, аналогичные проделанным в § 4, приводят нас к линейному интегральному уравнению для F:
+ оо
2nF{X\Xp, Х„)- | ?(>., h)%)F(h|^, Х*)йц = 0(Х-Хр)-0(Х-Х*).
- cr
(8.4)
Видна полная аналогия с уравнениями (4.11), (4.17). Единственное отличие состоит в замене меры интегрирования
С + X
| cil-y J 9(X)dX. (8.5)
— q ~сс
Здесь 9(Х.)— это фермиевский вес (5.27):
3(М=-#=т------------riTFr- (8'6)
р,(Я.) 1 +ехр ;е(>») Т]
Энергия и импульс возбужденного состояния вычисляются аналогично § 4:
АЕ{ХР, Xh) = X2p-X2h- f 2ц^(ц|Ь„ Х*)Э(ц)ф, (8.7)
— ОО
к(Хр, Xh) = Xp-Xk- | /'’(ц|Хр, Х,*)8(ц)</ц. (8.8)
— /и
В работе [1.14] приведено доказательство того, что энергия и импульс могут быть выражены следующим образом:
АЕ(ХР, Xh) = z{Xp)-z{Xh), (8.9)
к(Хр, Xh) = k(Xp)-k{Xh) =
= Xp-Xh+ I </црр(ц)[0(А.р-ц)-0(А.,,-ц)]. (8.10)
- СО
Здесь к (Л)—решение уравнения Янга (6.1).
Матрица рассеяния частицы на дырке имеет вид
S(XP, Л„) = ехр{ —i6(X„, Xfc)j, Xp>Xh. (8.11)
Фаза 5 определяется одевающим уравнением
+ Х>
К(Хр, ц)Э(ц)6(ц, Xh)dn = &(Xp — Xh). (8.12)
Таким образом, все наблюдаемые характеристики возбуждений действительно зависят только от макроскопических величии.
Необходимо отметить, что все формулы для наблюдаемых характеристик частиц при Тф() получаются из соответствующих формул при Т— 0 заменой меры интегрирования (8.5). Это правило будет выполняться и при вычислении корреляторов.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
37
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Докажем соотношение (4.14), исходя из соотношения (4.12). Сначала установим равенство производных
М?(у=аб(у
дХр 8ХР
Вычислим правую часть. Для эгого продифференцируем (4.15):
(П.1.1)
1 . 1-------К
2п
s = е„
(П. 1.2)
s'(X.) =
1----------к
‘Ч*., ц)е^(ц)4|..
(П. 1.3)
Поскольку оператор
1 „
1--------К
2п
симметричен, то его здро является сим-
метричной функцией своих аргументов. Вычислим теперь левую часть. Для этого продифференцируем уравнение (4.11) по Хр:
F(^kp)-~ А-(ц, v)/'(v|*.,yv = -L*(ji, ХД
Z7C J 2ТС
' я
cF(v\\p)
(П. 1.4)
/(ц|Хр)= —
дХ„
Левая часть (П. 1.1) имеет вид (см. (4.12)) я я
SX„ °' р! 2к
dyi
j еЬ(и)
1 —-
К
2п
(ц, v)AT(v, Xr)dv. (П.1.5)
Здесь мы выразили F из уравнения (П. 1.4). Проинтегрируем уравнение (П. 1.5) сначала по ц. Воспользовавшись (П. 1.2) и (П. 1.3), получим
8&Е(ХР
~~гх~
¦ = So(Xp) + ^ j e'(v)A'(Xp, v)dv = e’(Xp).
(П. 1.6)
Итак, равенство (П. 1.1) доказано. Докажем теперь равенство аддитивных постоянных, анализируя асимптотику и ) при больших Хр.
Уравнение (4.15) позволяет аналитически продолжить е(>.) с отрезка [ — q, <?] на всю вещественную ось, причем
s(X) —> X1 — h + o(\IX).
(П. 1.7)
38
ГЛ Г ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Для анализа ДЕ нам нужно знать асимптотику функции /-'(ц | Хр) при Хр-»±оо. В правой части (4.11) фаза 0->±it при А,->±оо. Сравнивая (4.11) и (3.7), получаем:
F(n|Xp) -> + яр(ц). (П.1.8)
Хр—'+ оо
Функция р(ц) является четной, а ёо(ц) = 2ц является нечетной, поэтому ДЕ(ХР) г0(Хр) = Х2р-к+о(1/Хр). (П.1.9)
Х-р—"+ оо
Итак, мы видим, что асимптотики (П. 1.7) и (П. 1.9) совпадают, что окончательно доказывает равенство (4.14):
е(Хр)=АЕ(Хр).
(П.1.10)
Докажем теперь, что выражения для импульса (4.13) и (4.16) равны. Умножим уравнение (4.11) на р(ц) и проинтегрируем по ц. Воспользовавшись антисимметричностью фазы 0 и уравнением для р(ц) (3.7), получим
| F(v\X)dv= | p(v)0(v — X)dv. (П.1.11)
-я ~1
Таким образом, формулы (4.13) и (4.16) действительно эквивалентны. ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Вычисления, проведенные в § 5 методом наискорейшего спуска, верны, если матрица вторых производных показателя экспоненты в (5.16) отрицательно определена. Покажем, что это действительно так. Проинтегрируем выражение (5.16) последовательно — сначала по рр, а затем по h. Легко показать, что
,, Е L
62 S + -h
Т Т
р p(k)dX-D
L
[6g(^)]2pp().)[l+e-?W'r]-1^<0.
(П.2.1)
Применяя метод наискорейшего спуска, получим:
Z = const
exp-j
(П.2.2)
f=Dh-
2it
ln[l +
]dX.
Зависимость f от h определяется системой уравнений (5.24) — (5.26), ее первая производная равна:
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
39
а вторая, соответственно,
еу
8h
2 = ~Th\Pp{x)dx- (U2A)
Если правая часть этого выражения отрицательна, то интегрирование по h вдоль мнимой оси означает правильное прохождение точки стационарности (см. (5.16)).
Следствием уравнений (5.19) и (5.7) является: йе(Х)
—^~= —2яр,(Х,). (П.2.5)
Здесь мы воспользовались тем, что р,(Х)= рр(Х)[1+ехр{е(Х)/Г}]. Можно доказать, что 8pp(X)/8h удовлетворяет интегральному уравнению
