Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 8

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 84 >> Следующая

§ 4. ВОЗБУЖДЕНИЯ НАД ОСНОВНЫМ СОСТОЯНИЕМ
23
характеризующих дырочное состояние, получается из вакуумного вычеркиванием одного из целых чисел. Функция сдвига удовлетворяет уравнению
j к{^ v)Fk(v\Xk)dv= (4.17)
Здесь Хи — затравочный импульс дырки. Эта функция сдвига позволяет вычислить энергию и импульс частицы с помощью формул (4.12),
(4.13). Получаются следующие ответы:
A?(Xft)=-eftft)>0, 1М<?, (4-18)
k(Xh) = -X*- J 0(>./,-ц)р(ц)^ц, |^а|<?. (4.19)
Произвольное возбуждение строится из нескольких частиц и нескольких дырок. Энергия и импульс аддитивны. Функция сдвига F многочастичного возбуждения также получается суммированием элементарных функций сдвига. Например, при внесении в вакуум двух частиц Л.2 > /ч > q, значения импульсов вакуумных частиц изменяются: Aj —> Xj(/= 1, ..., /V). Функция сдвига
F(X\XU X2) = -^f (4.20)
К j +1 — К j
равна сумме функций сдвига отдельных частиц (4.10):
F(X\XU X2) = F(X\X1)+F(X\X2). (4.21)
Вычислим теперь матрицу рассеяния двух частиц с импульсами /Ц и к2(Л-2>kl>q). В данном случае матрица рассеяния сводится к числовому множителю по модулю, равному 1:
S=exp{ib(X2,\i)}- (4.22)
Фаза 5 равна разности двух фаз:
5(Х2Д1) = Ф21-Ф2- (4.23)
Здесь Ф2 — полная фаза, которую набирает вторая частица при
обходе «ящика» в отсутствии первой частицы:
Ф2 = ЬХ2+ (4.24)
fc= 1
Фаза Ф21 — это полная фаза, которую набирает вторая частица при обходе ящика в присутствии первой частицы:
N
Ф 21=LX2 + E0(^2-^) + 0(^2-^i)- (4.25)
k= 1
Итак, фаза рассеяния есть:
5(^2, ^l)=0(^2-M+ L \ Щ2-к)-Щ2-Ъ) -fc=iL
= 0(^-^)+ ^K(X2^k)\F(K\^u^2)-F(Xk\X2) (Xk + 1-Xk) (4.26)
fc=l L
24
ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Заменяя сумму на интеграл и используя (4.21), получаем
5(^2, ^i) = 0(^2-^i)+ 1 К(к2, (4-27)
~9
Используя уравнение (4.11), приходим к равенству
5(Х.2,Х.1) = 2я/'(А.2|Х.1)> **>*.!. (4.28)
Замечательно, что сама фаза рассеяния удовлетворяет одевающему уравнению
6 (к, ц)- — I К (k, v)5(v, ц)<*у = 0(*,-ц). (4.29)
2.ТС — q
Итак, мы видим, что физические характеристики возбуждений над морем Дирака получаются из физических характеристик возбуждений над фоковским вакуумом |0> (которые задаются явным видом бетевской волновой функции (1.26)) с помощью одевающих уравнений. Эти одевающие уравнения являются линейными интегральными уравнениями и носят универсальный характер. Достаточно сравнить одевающее уравнение для энергии (4.15), для фазы рассеяния (4.29) и для плотности (3.7). При изучении корреляторов мы увидим, что идеология одевающих уравнений весьма полезна.
Отметим, что матрица рассеяния двух дырок с затравочными импульсами A,i, ki также равна ехр {ib(ki, Ai)} (Лг > А-,), где 6 задается уравнением (4.29). Матрица рассеяния частицы кр на дырке к* равна (см. (4.29))
S = exp{-/5(X,„ Ха)}, kp>kh. (4.30)
Матрица рассеяния нескольких частиц равна произведению парных.
Упомянем о возбуждениях в секторе с фиксированным числом частиц, равном числу частиц в основном состоянии. Это означает, что следует рассматривать только возбуждения, в которых число частиц равно числу дырок. Все формулы для вычисления наблюдаемых характеристик возбуждений, выведенные выше, применимы и в этом случае. Отметим, что в секторе с фиксированным числом частиц можно не упоминать об антипериодических граничных условиях.
§ 5. Термодинамика модели
Рассмотрим канонический ансамбль и вычислим статистическую сумму модели:
Z = ti(e~HIT) = e-FIT. (5.1)
Здесь гамильтониан Н задан формулой (1.2), а Т—температура. Свободная энергия F определяется равенством (5.1). Напомним, что мы изучаем термодинамический предел L-> оо, N-* со (см. (3.1)) с
Z) = AT/L=const. (5.2)
§ 5. ТЕРМОДИНАМИКА МОДЕЛИ
25
Полезно вспомнить понятие частиц, дырок и вакансий, введенных в § 2 (см. (2.29), (2.30)). В термодинамическом пределе плотность распределения частиц обозначим через рр(л), плотность распределения дырок через р/,(л), а плотность распределения вакансий через р,(Х). Итак:
Lpp(X)afX— число частиц в отрезке [X, Х + Л], (5.3)
L ph{'k)dk— число дырок в отрезке [X, л + й?л], (5.4)
Lp,(X)dX— число вакансий в отрезке [а, А. + й?л]. (5.5)
Разумеется, выполнено соотношение
Р*(^) = РрМ + Ра(Ч (5-6)
В уравнении (2.31) перейдем к термодинамическому пределу и получим
+ ОС
2лр,(А,)=1 + J К(Х, ц)рр(ц)ф. (5.7)
-- со
Следует подчеркнуть, что мы перешли от микроскопического описания модели (с помощью набора целых чисел nj) к макроскопическому описанию с помощью функций распределения рр, ри, Pi. Важно отметить, что заданному макроскопическому состоянию (фиксированным функциям рр, рh) соответствует много микроскопических состояний (наборов целых чисел nj). Действительно, существует несколько возможностей разместить Lpp(k)dk частиц в Lp, (л) dk вакансиях. Обозначим это число возможностей через ехр {dS}:
ds_______[Lp, (/-) ^/.]!__
[Lpp(Ji)«/X]![Lpk(X)<tt]!' 1 '
В термодинамическом пределе это число велико. Вместо факториала подставим его асимптотику и получим
dS=LdX [р,(^)1п р,(Х,)-рр(Х,)1п pp(X,)-p»(X,)ln р* (*•)]¦ (5-9)
Ниже мы увидим, что энергия системы и другие наблюдаемые зависят только от макроскопических переменных рр, рн, а величина
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed