Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
q, = limX,w. (3.3)
Удобно ввести плотность распределения частиц в импульсном пространстве (см. (2.22), (2.23) и теорему 3)
pM=limi(d^y>0' <3'4)
Так как в интервале [ — q, q] все вакансии заняты и дырок нет, то оказывается, что (см. (2.31))
, , , dx
р(Я,)=р((Я,) = — >0, -q^kdq. (3.5)
Функция р (Я,) по определению положительна. Легко видеть, что число частиц в интервале \k,k + dk] есть Lp (k) dk.
Вернемся теперь к уравнению (2.31); в термодинамическом пределе правомерно заменить сумму на интеграл:
NI(2L) q
L-1 ?.К(Я(х), Я,) = J *(Я.(х), k(y))dy = J ЛГ(Я(х), ц)р(ц)</ц. (3.6)
I -JV/(2L) -q
Итак, из (2.31) получается следующее линейное интегральное уравнение на плотность р (Ху.
Ч
J* АГ(Х,, ц) Р(И-) й?И-=^-
(3-7)
Впервые это уравнение было получено в работе [1.9]. Мы будем называть его уравнением Либа. В квантовом методе обратной задачи Я будет играть роль аддитивного спектрального параметра, a q — это значение спектрального параметра на границе зоны Ферми. Плотность системы дается интегралом
l=D=j pW
dk. (3.8)
Это уравнение, вместе с уравнением (3.7), позволяет вычислить q как однозначную функцию D. Введем интегральный оператор К с положительным ядром К (к, ц). Этот оператор действует на функцию р(Я.) так:
(Кр) (к)= ] К (к, ц) р(ц) dn, К (к, |Л2. (3.9)
18
ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Для того чтобы доказать, что уравнение (3.7) имеет единственное
решение, достаточно показать, что оператор 1-------К является не-
2я
вырожденным (обратимым). Это видно из следующей оценки. Рассмотрим квадратичную форму этого оператора с некоторой вещественной функцией у (Я,). Воспользовавшись неравенством (2.18) в термодинамическом пределе (см. (2.16), (3.7)), получим
« Я Я Я
v2(X)dX — ^~ j*dX j* ЛГ(А, ц) t?(A) у(ц) j* ^ dk^O. (3.10)
-q -q -q -q
Итак, оператор 1 —К действительно невырожден, причем все его 2я
собственные числа положительны и отделены от нуля щелью (27tpmax)_1. Здесь ртах — это наибольшее значение функции р {'к) в интервале — q^X^q. Из неравенства (2.23) следуют следующие оценки на значения плотности р (А,) и на собственные значения К оператора К\
^1+2^>ртах>р(А)>^, 0<^ ЛГ«:[2?>/(2?> + с)]<1. (3.11)
Положительность оператора К доказана в работе [1.9]. Отметим, что при с->оо ядро К(Х, ц)->0, поэтому все уравнения решаются явно. В точке с= оо модель эквивалентна свободным фермионам, при этом
р(А) = — при |А|<#, w 2я F (3.12)
р (А) = 0 при | А | > q.
Мы завершили построение основного состояния системы |П> при Г=0 — оно задается уравнениями (3.7), (3.8). Так как это состояние представляет собственную функцию гамильтониана, то можно сказать, что мы рассматриваем микроканонический ансамбль. Энергия основного состояния равна
<П|Я|П> = ^ = ? j Х2p^dX. (3.13)
<Q|Q>
. J” А2р (A) dX.
Обсудим теперь другой подход. Мы не будем заранее фиксировать число частиц N, но изменим гамильтониан:
H„ = H-hQ. (3.14)
Здесь Q — оператор числа частиц (1.6), h — химический потенциал. Мы будем рассматривать случай h>0 (только в этом случае основное состояние представляет собой море Дирака с ненулевой плотностью
§ 3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
19
D> 0; см. § 7). Число частиц N и плотность энергии основного состояния зависят теперь от величины химического потенциала. Напомним, что [Н, Q\ = 0; в § 1 построены общие собственные функции операторов Н и Q. Собственные значения оператора Ни имеют вид
М-h)- (З-15)
j=1
Так как энергия частиц с малыми импульсами \j отрицательна, то основное состояние гамильтониана достигается на том же наборе целых чисел (2.26), (3.2). В термодинамическом пределе мы снова получим уравнения Либа (3.7), однако плотность D и величина q определяется теперь значением h. Введем функцию е (/.) посредством уравнения
ч
epi)-^ n)e(n)4t = )i2-A = e0()i). (3.16)
-q
Требование
еЫ = е(-<?) = 0 (3.17)
однозначно определяет зависимость параметра q от химического потенциала h. Плотность D задается уравнением (3.8) и также определяется величиной h.
В §4 будет показано, что функция ? (а)—это энергия элементарного возбуждения над основным состоянием. Смысл формулы (3.17) состоит в том, что в основном состоянии энергия возбуждения на границе зоны Ферми равна нулю.
В последующих параграфах мы рассмотрим термодинамику модели при отличной от нуля температуре. Уравнения (3.16), (3.17) естественным образом возникнут при изучении предела Т-* 0 (см. § 7); при этом будет доказана теорема существования и единственности для системы (3.16), (3.17). Там же будут установлены следующие важные свойства функции ? (Ху.
е'(>.)>0 при >.>0,
е(Х)=в(-Х), (ЗЛ8)
е(>.)<0 при —q<X<q, (3.19)
е(Х)>0 при \>q или \<—q. ,(3.20)
Плотность D(h) является монотонно возрастающей (следовательно, взаимнооднозначной) функцией химпотенциала на полуоси h > 0 (см. §7):
^1л = 0— 0, D\h=<x>~ с0-
(3.21)
20
ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Неравенство dD/dh> 0 эквивалентно обычному условию термодинамической устойчивости при абсолютном нуле температуры.
Итак, основное состояние |П>—физический вакуум—описано. Энергия основного состояния гамильтониана (3.14) равна
