Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
8_1(а)=Э“1(-а)==Э_1(а*) = 8-1(-а*) = 0. (6.31)
Следует также подчеркнуть, что точки (6.29) не являются точками сингулярности функции ? (л). Эта функция может быть продолжена еще дальше в комплексную плоскость. Ее ближайшие особенности лежат в точках (a + гс); ( — u* + ic), ( — а — к), (a* — ic). В этих точках контур интегрирования в (6.26) зажат между особенностями логарифма и ядра интегрального уравнения К (л, ц).
§ 7. Предельные случаи
Обсудим предел нулевой температуры Г->0. Рассмотрим решение уравнения Янга е(л) при Т— 0. Сначала изучим, что происходит с оценкой (6.21) в этом пределе
X2 ~h'^e(k)'^X2 +х0. (7.1)
Постоянная х0 является взаимнооднозначной монотонно убывающей функцией h (см. (6.16)). При Т= 0 точка h = 0 соответствует х() = 0; полуоси отображаются следующим образом:
при h>0 л:о<0, (7.2)
при h<0 хо>0. (7.3)
В последнем случае х()>0; h<0 легко видеть, что x0=—h. Функция ?(л) равна
E(X)=X2-h>Qbr k<0, (7.4)
и не имеет нулей на вещественной оси. Мы увидим, что это соответствует нулевой плотности />= 0.
§ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
33
В случае h>0 хо<0 (х0=—у, у>О):
(7.5)
В этом случае функция с (X) имеет два пуш на вещественной ocir
Функция с (X) является четой функцией X, монотонной на толуоси X > 0. причем
Эти свойства получаются пределом 7’^>0 из формул (6 20)—(6.22) предыдущего параграфа. Свойства (7.7), (7.8) позволяют перейти к пределу в уравнении Янга; при 7’=0 получаем
e(tf) = e(-tf) = 0.
Теорема существования для этого уравнения и ряд других свойстя следует из теоремы существования для уравнения Янга при Г> 0. полученной в § 6. Итак, мы обосновали уравнения (3 16), (3.17),
(3.19), (3.20). При изучении предела Т-*0 мы воспользовались гем, что при Т= 0
Из (7.4) видно, что при h<0 величина D равна нулю. При h>0
заключаем, что D>0 и q>0. Так как 8D/dh>0 (см. Приложение 2),
е(±^) = 0, h> 0.
(7.6)
t(X)>0 при |X|><j, s(X)<0 при |Х|<#.
(7.7)
(7.8)
(7.9)
| Х.| <^.
Отсюда следует в свою очередь, что
(7.Ю)
рр(Х) = 0, рл(Х) = р,(Х); IXI>q (Т=0),
рм(Х) = 0, Pp(X)=pt(X), IXKq (г=о).
(7.11)
(7.12)
Это позволяет перейти к пределу в уравнениях (5.24);
ч
2прр{Х)- J К(Х, ц)рр(ц)</ц=1,
(7.13)
Я
I рp(X)dX = D.
(7.14)
34
ГЛ I ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
то при изменении Л от 0 до со величина h тоже изменяется от
О до оо, причем D{h)—взаимно однозначная монотонно возрастающая функция на полуоси. Итак, мы обосновали (3.21).
Отметим, что при Т= О основное состояние превратилось в собственную функцию гамильтониана. Энтропия S устремилась к нулю при Г-> 0. Таким образом мы обосновали результаты, объявленные в § 3. При абсолютном нуле температуры (Г=0) формула (5.22) для давления принимает вид
0>=~] ?(k)dk. (7.15)
Мы видим, что давление свелось к плотности энергии основного состояния (3.22).
Упомянем о скорости звука v при нулевой температуре. Можно дать два определения этой величины — макроскопическое и микроскопическое. Макроскопически скорость звука определяется в терминах производной от давления по плотности:
Здесь ЗР — давление, D — плотность.
Микроскопически скорость v определяется в терминах производной от одетой энергии (4.12) по одетому импульсу (4.13) на поверхности Ферми:
8г (X)
~дк(\)
В Приложении 3 доказано, что эти определения для бозе-газа эквивалентны.
Теперь обсудим другой вопрос. Как уже было упомянуто, теория резко упрощается в пределе бесконечной константы взаимодействия. При фиксированной температуре устремим с-> со. Ядро интегрального оператора К при этом устремляется к нулю. Все интегральные уравнения допускают явное решение:
v=-
(7.17)
l-q
2 _ _ I 1
§ 8. ВОЗБУЖДЕНИЯ
35
Еще раз напомним, что при с=оо теория эквивалентна свободным фермионам.
Отметим также, что при Т= 0 предел слабой связи с-> 0 изучался в работе [1.10], где были воспроизведены результаты теории возмущений [1.1]. В этом пределе модель сводится к слабо взаимодействующим бозонам.
§ 8. Возбуждения около состояния термодинамического равновесия
Состояние термодинамического равновесия было построено в § 5. Это состояние представляет собой смесь различных собственных функций гамильтониана. Для того чтобы получить возбуждения около равновесного состояния, выберем одну из этих собственных функций. Затем построим возбуждения около этой собственной функции с помощью тех же методов, что и при нулевой температуре (см. § 4). Ниже мы увидим, что физические характеристики этого возбуждения (энергия, импульс, матрица рассеяния) не зависят от конкретного выбора собственной функции. Они зависят только от макроскопических характеристик, которые одинаковы для всех собственных функций, входящих в состояние термодинамического равновесия. Здесь просматривается аналогия с теорией калибровочных полей, причем ехр{5} аналогична объему калибровочной группы. Макроскопические величины рЛ, рр ((5.3) — (5.6)) «калибровочно инвариантны», а переход от одного набора микроскопических переменных {rij} (см. (2.13)) к другому, соответствующему тому же значению рр и ph, аналогичен калибровочному преобразованию.
Для построения возбуждений удобно использовать функцию 7- (л-)
