Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 10

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 84 >> Следующая

^'<ч4(1+т) <5-28>
Введем линейный интегральный оператор Кт, который действует на произвольную функцию v(X) следующим образом:
+ ОС
(KTv)(X)= f K(k, ц)в(ц)и(ц)ф. (5.29)
§ 6. УРАВНЕНИЯ ЯНГА
29
Можно доказать, что собственные числа К, этого оператора лежат в интервале (аналогично 3.11))
0<Кг<-^-<2п. (5.30)
2D + c v
Уравнения (5.24) — (5.26) будут проанализированы в § 6 и в Приложении 2. Укажем здесь, что h есть взаимно однозначная функция D, 8D/8h>0. При изменении h от —со до +оо величина D изменяется от 0 до оо, что отличается от случая Т= 0 (см. (3.21)).
Отметим, что термодинамика большого канонического ансамбля описывается точно теми же уравнениями (5.24) — (5.26), однако произвольным надо считать химпотенциал h, а плотность определяется при решении уравнений.
§ 6. Уравнение Янга
Докажем георему существования для уравнения Янга
X +® ( -—\
е(Х) = Х2 — h — — J К(Х, ц)1пМ+е т \d\x, (6.1)
следуя работе [1.14].
Теорема 4. Решение уравнения Янга существует. Доказательство. Построим следующую последовательность функций:
е0(А,) = л2 — h, е „+.1(Х) = Х2-1г + Ал, (6.2)
j +оо /
Л„=-— | К{Х, цЫ1+е т Jd». (6.3)
Ниже мы докажем, что эта последовательность убывает в каждой точке X:
e0(X)>e1(X)>e2(X)>...>&n(X)>e„+i(X)>... (6.4)
и ограничена снизу:
еп(Х)^Х2 + х0, (6.5)
где х0— постоянная. Это и будет означать, что предел этой последовательности
е(Х)= lira е„(Х) (6.6)
И—>00
существует и является решением уравнения Янга. Свойство (6.4) очевидно из того, что А„<0 и 8А„/8е„>0:
+ оО
8Л„ = ^- J К(Х, ц)[1+ехр{Е(ц)/Г}]-15Е,(ц)</ц. (6.7)
30
ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Доказать (6.5) не столь просто. Сначала установим некоторые важные свойства функций ?„(л), а именно четность и монотонность на полуоси:
М^)=М-М> (6-8)
M^2)>en(^l), еСЛИ ^2>^1^0. (6.9)
Первое свойство очевидно, второе можно доказать индукцией по п. Пусть оно выполняется для ?„, докажем его для ?„-ц. Из (6.2) получаем
?n+1 (Я)~ 2Я.+
2п
= 2к +

[К(к Ц)-К(-К ц)]т-^_^ц>0, (6.10)
так как ц)>ЛГ( — К, ц), при Я>0 и ц>0; см. (3.9). Итак, мы доказали свойство (6.9). Отметим, что А„ (6.3)—четная возрастающая функция на полуоси. Отсюда видно, что
?„(Я)^2 + ?„(0). (6.11)
Принимая во внимание (6.2) и (6.7), получаем неравенство
l+e~ т Ui. (6.12)
?n + i(0)>-h-— | К(0, ц)1п
Определим функцию f(x): f(x)=-h| К(0, ц)1п
Цг + Х
1+е~ т
= — h + x—— J" К(0, ц)1п
ет+е
d\i. (6.13)
Неравенство (6.12) с помощью этой функции можно переписать так:
?„+!(0)>/(?„(0)). (6.14)
Функция /(х) монотонно возрастает, но f(x)<—h. Функция (/(х) —х) монотонно убывает, изменяясь от +оо до — оо, и имеет единственный нуль:
/(хо)-хо = 0. (6.15)
Итак, при фиксированной температуре х0 однозначно определяется величиной h, и наоборот, задание х0 задает к
+ со
*=-? J К(0, ц)1п\ex°IT+e-»2lI"]d\i.
(6.16)
§ 6. УРАВНЕНИЯ ЯНГА
31
Отсюда легко видеть, что h — монотонно убывающая функция х0, изменяющаяся от — оо до +оо.
Докажем теперь, что
Далее воспользуемся индукцией по и и возрастанием f(x). Пусть ?„(()) >л'0; из (6.14) видно, что
Итак, неравенство (6.17) доказано. Комбинируя его с (6.11), получаем
(6.5), что завершает доказательство существования решения уравнения Янга.
Одновременно мы доказали следующие свойства решения:
Таким образом, функция г(л) на вещественной оси либо вообще не имеет нулей (например, л-о>0), либо имеет два нуля л= ±qT (это случается, например, при h>0).
Рассматривая теперь два предельных случая, получим:
й-> — оо, при этом е(Я,)-> + оо; л:0^ + оо; рр->0; D->0. (6.25)
Мы исследовали поведение функции г(л) на вещественной оси, в дальнейшем нам понадобится продолжение г(л) в комплексную плоскость. В некоторой окрестности вещественной оси это продолжение может быть осуществлено с помощью уравнения (6.1)
На первый взгляд кажется, что таким образом можно продолжить г(л) только в полосу в окрестности вещественной оси — с < Im л < с из-за полюса К (к, ц). Однако полюс К (к, ц) не является серьезным препятствием. Так как е(Х) аналитична в окрестности вещественной оси, то контур интегрирования в (6.26) можно сдвинуть в верхнюю полуплоскость. Это позволяет продолжить ? (л) в область 1ша >с.
?„(0)>Х0, И 5*0. Прежде всего отметим, что
(6.17)
?о(0)= -h>f(x0) = x0.
(6.18)
+1 (0 )>/(?„ (0)) *tf(x0) = x0.
(6.19)
е(А,) = е(-А,),
к2 — h^e(?i)^?i2 + x0,
(6.20)
(6.21)
бе(Х.)
—^>0 при ^>0,
о к
(6.22)
(6.23)
h-*+ оо, при этом е(А,)-> — оо; р&->0, D—>cc,
(6.24)
(6.26)
— оо
32 ГЛ I ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Двигать контур в верхнюю полуплоскость можно вплоть до нуля функции 1 + ехр { — е(ц)/Г}, ближайшего к вещественной оси. Можно доказать, что он обязательно существует; обозначим его положение через а:
1+ехр{е(а)/Г)=0, е(о>) = <л:Г. (6.27)
Свойства симметрии функции е(л);
е(Х)=в(-Х), е*(Х*)=е(Х) (6.28)
показывают, что нули расположены в вершинах прямоугольника
Х=&, Х=—ot, Х = а*, Х= — а*. (6.29)
Это позволяет выбрать а так, что
lma>0, Rea>(k (6.30)
Важно отметить, что точки (6.29) являются простыми полюсами фермиевского веса $(А,)=[1+ехр{е(а)/7’}]-1, ближайшими к вещественной оси:
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed