Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Применим статистику Ферми —Дирака к электронам проводимости в металле. Последние приближенно можно рассматривать как свободные частицы1). Подсчитаем число состояний на интервал энергии р(е). В объеме металла L3=V состояния свободных частиц будут стоячими волнами. Удобнее рассматривать бегущие волны, считая металл бесконечно большим, но мы будем предполагать, что в каждом объеме L3=V состояние полностью повторяется («условие периодичности»). Такое рассмотрение вполне законно, если L^>ky где Я есть длина волны преобладающего числа занятых состояний. Волновые функции будут плоскими бегущими волнами вида
Ukxx + k y + k2z)
¦- С20'17»
(нормированы к 1 в L3), причем kx, klJy kz имеют значения
= ku = ^-, kz = 2-^. (120.18)
Благодаря такому выбору kxy ky, kz состояние в объемах L3 повторяется. Состояния у нас нумеруются числами пХУ пуу п2. Эту тройку чисел и следует теперь понимать под одним индексом ту фигурировавшим в (120.12).
Образуем сумму ^AnxAnyAnz (Дп = ±1) по состояниям, которые попадают в интервал энергии 8, г+йг. На основании
г) Строгое доказательство возможности такого приближения и установление границ его применимости до сих пор еще не произведены.
524 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
(120.18) имеем
( L
Д/?л- A/ify Л/? - = \2л j №xkky&kg9
следовательно,
К
2 кпхАпуАпг = 2 bkxbkybkg =
V (2л)3
?,. e-fds е, e+de
^ ^ с//гА- dku dkz =
е, e + tfe
-is? SS <120Л9>
?, Е-1-^8
Замечая, что для свободных частиц и что каждому зна-
чению к соответствуют два состояния с различной ориентацией спина электрона, мы получаем
Vp (г) йг = е«/* de. (120.20)
Подставляя это значение р(е) в (120.14), находим закон распре-
деления свободных электронов
8я (2^)3/2 81/2С?8 /10П О 1 \
/(e)de = -^^-------------------. (120.21)
е 0 +1
Вычислим максимальную энергию s0 для 0 = 0. Так как при 0 = 0 /(е) = 0 для e>ft0, то из (120.16) и (120.21) имеем
»= fw*" W0#2 ?е,,!‘1е=»а?-з <120'22>
о б
Отсюда
*-Т(?-Г <120-23)
Величина максимальной энергии электрона е0 для металлов (п^Ю22 слг3) получается равной нескольким электронволЬтам. Такого же порядка величины средняя нулевая энергия электронов ё(0) (точно е (0) ==3/580). По классической теории средняя энергия электронов должна быть гораздо меньше (3/2&Г). Более детальное исследование показывает, что е0 очень мало зависит от
температуры, если только последняя много меньше Т0 = ~. Эта
температура для электронного газа составляет ~ 10 000°. Для температур Т^>Т0 можно доказать, что распределение Ферми-Дирака переходит в максвелловское распределение
е
/ (е) rfe = const • е eel/2de. (120.24)
§ 120]
ГАЗ ФЕРМИ -ДИРАКА II ГАЗ Б031: - ЭПНШТЕПНА
525
Температуру Т0 называют температурой вырождения газа. Применение статистики Ферми —Дирака к электронному газу позволило преодолеть многочисленные принципиальные затруднения классической электронной теории металлов и в настоящее время является исходным пунктом современной теории1).
В качестве примера распределения Бозе —Эйнштейна рассмотрим черное излучение. Будем считать кванты света (фотоны) частицами. Соотношение между энергией 8 и волновым числом к
de
для этих частиц есть e = fl(o = fick, т. е. ^- = йс. Так как состояния фотона представляются плоской волной, то число состояний на интервал энергии будет (120.19). При этом еще нужно умножить (120.19) на 2, так как для каждого значения к возможны две независимые поляризации. Следовательно, из (120.19) получаем
= <'20.25)
Таким образом, закон распределения фотонов по энергии получается в виде
(120-26)
е"е" -1
Полное число фотонов неопределенно (= оо), поэтому условие
(120.15) для определения а не может быть использовано. Энергия в единице объема в интервале de будет равна e/(e)de. Имея в виду, что e = fto), перейдем к плотности излучения и (со) на интервал частот rfco : и (со) dco = е/ (е) Й б/со. На основании этого получаем
= -------------• (120.26')
?0 ""-I
При Йсо<^0 закон распределения должен переходить в классический закон Рэлея —Джинса (§ 6). Чтобы получить этот закон, следует взять а = 0. Таким образом, получаем
“И = ^-ягг—. О20-26")
е®'-1
т. е. формулу Планка2).
г) Литература по квантовой теории металлов весьма обширна. Укажем книги: А. А. Абрикосов, Введение в теорию нормальных металлов, «Наука», 1972; Физика металлов. Электроны, под ред. Дж. Займ а на, «Мир», 1972; И. М. Лифшиц и др., Электронная теория металлов, «Наука», 1971.
2) Применяя метод Гиббса, можно непосредственно вывести формулу (120.26"), не прибегая к классическому закону Рэлея —Джинса. (См. сноску на стр. 522).
Глава XXi МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
§ 121. Атом гелия
Атом гелия, второй атом периодической системы, является наиболее простым из многоэлектронных атомов. Однако уже на нем классическая механика потерпела полный крах. Попытки рассчитать его методами классической механики (с учетом квантовых условий Бора) привели к выводу о невозможности применения классической механики к атомным системам с двумя и большим числом электронов. Было сделано предположение о существовании некоторого рода «немеханических действий». Современная квантовая механика в проблеме многоэлектронных систем не встречает никаких принципиальных трудностей (вычислительные трудности довольно значительны).
