Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с качественного анализа возможных состояний атома гелия, опираясь при этом на общую теорию систем, состоящих из одинаковых частиц, изложенную в §§ 114—117. Определим прежде всего вид оператора Гамильтона Я для электронов атома гелия. Взаимодействия в атоме гелия можно разбить на две группы. В первую входят значительные кулоновские взаимодействия между ядром и электронами, во вторую —слабые магнитные взаимодействия, обусловленные взаимодействием спинов электронов между собой и с орбитальным движением1).
^ Обозначим координаты электронов через хъ уъ z1(r1) и х2, y2f z2(r2), а их спины через Si и s2. Оператор кулоновских взаимодействий будет равен
и = -у--у + у~, (121.1)
Г1 Г2 Г12
где первые два члена представляют энергии взаимодействия первого и соответственно второго электрона с ядром атома, имеющим
!) В эту же группу следует отнести поправки, обусловленные зависимостью массы электрона от скорости (ср. § 65).
§ 121]
АТОМ ГЕЛИЯ
527
заряд +2е, а третий член определяет энергию кулоновского взаимодействия электронов (рис. 87).
Оператор магнитных взаимодействий обозначим через W. Он будет зависеть от спинов, положения и скоростей электронов
W=W{sb s2, гь r2— iftVо). (121.2)
Учитывая еще кинетическую энергию обоих электронов, мы можем написать полный гамильтониан электронов атома гелия в виде
Я(гь г„ s\, s2)=-|vf-|vi_^_2| + ?+#. (121.3)
Последний член, как мы знаем (ср. § 74), очень мал и обусловливает мультиплетную структуру спектров. Ограничиваясь в дальнейшем качественным анализом мультиплетного строения уровней гелия, мы вовсе отбросим этот член и будем исходить из гамильтониана
И (гг, r2) = -|Vi- *2е
В этом приближении, когда игнори- Рис. 87. Взаимодействия в руются малые спиновые взаимодейст- атоме Не.
вия, переменные, относящиеся к движению центров тяжестей электронов н к их спину, разделяются. Выбирая в качестве спиновых переменных проекции спинов на некоторое направление (например, OZ): sn и s^2, мы можем (ср. § 60) написать полную волновую функцию двух электронов атома гелия в виде
?(гь r2, szl, si2) = 0(r1, r2) • 5 (szi, 5г2), (121.5)
где через S (s*lt sz2) обозначена часть волновой функции Чг, зависящая от спинов.
Оператор Гамильтона Н (121.4) (а также и точный (121.3)) симметричен относительно обоих электронов ввиду их тождественности. Поэтому к рассматриваемому случаю применимо утверждение общей теории (§ 115), согласно которому волновая функция 4я (121.5) должна быть антисимметричной или симметричной относительно частиц, в зависимости от того, подчиняются ли они принципу Паули или нет.
Опыт показывает, что электроны подчиняются принципу Паули (впервые именно для электронов он и был установлен). Следовательно, волновая функция (121.5) должна быть антисимметричной
528
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
[ГЛ. XXI
относительно перестановки электронов, т. е.
АзЧ'Оь г2, s2U sz2)--= — Y(rb r2, s-b sz2). (121.6)
Оператор перестановки мы можем представить в виде произведения двух операторов перестановки Р'п и РJ'2, из которых первый переставляет координаты центра тяжести электронов гх и г2, а второй—спины электронов szl и sc2. Тогда (121.6) с помощью (121.5) можно написать в виде1)
А'->Ф(Гь r2)-PUS (s2U s*2) = —Ф(гь Го) • S (szly sz2). (121.7)
Отсюда мы получаем две возможности: либо
PUФ(гь г2) = + Ф(гь г2), (121.8)
и тогда
PhS (5)ь sz2) = — S (sz1, sz2), (121.9)
либо же
А'*Ф(гь Го) = — Ф (гь г2), (121.8')
и тогда
Ai*S (Sj 1, 5г2) = + S (Szl, SzZ). (121.9')
Первая возможность означает, что координатная функция симметрична, а спиновая антисимметрична, вторая возможность означает, что координатная функция антисимметрична, а спиновая — симметрична. Поэтому мы получаем два класса волновых функ-
ций для возможных состояний атома Не, именно,
^-.ФЛгь r2) Sa (szl, ss2), (121.10)
'^// = Фа(Гх, r2)Ss(s*x, Szi), (121.10')
где значками s и а обозначены симметричные и соответственно антисимметричные" функции.
Рассмотрим теперь подробнее спиновые функции Sa и Ss. Поскольку мы игнорируем взаимодействие спинов, каждую функцию можно было бы написать в виде произведения спиновых функций, рассмотренных в § 60 (60.6), (60.6'), относящихся к каждому электрону в отдельности, т. е. в виде
s (sz 1, ^2) = *^al fel) $а2 (sz2)> (121.11)
где значки и а2 и указывают, как направлен спин электрона — по оси OZ или против нее. Но функция (121.11) не является ни симметричной, ни антисимметричной функцией спинов электро-
!) Утверждение (121.6) справедливо и в тех условиях, когда спиновым взаимодействием не пренебрегают. Дальнейшее, напротив, базируется на приближении (121.5).
§ 121] АТОМ ГЕЛИЯ 529
нов. Легко, однако, построить из функций (121.11) антисимметричные функции Sn и симметричные S*.
Рассмотрим сначала случай, когда спины электронов противоположны друг другу. Тогда волновая функция (121.11) имеет вид
5' (*ь sz2) = S+Va Ы S-v2 (sz2), (121.12)
но возможно и другое состояние, когда сппн первого электрона противоположен оси OZ, а спин второго — направлен по осп OZ:
S" (szl, sz2) = S_ г/ш (zzl) S+v, (5Й). (121.12')
