Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
С (^1, . . . , flfo, . .. у tXjy . . . , Ядг, /)
= + с(яь ..., tijy ..., nk9 ..., /гд,, /). (117.10)
Для двух частиц будем поэтому иметь
Ч(яи 4i)= 2 с(/г1’ «г){^«.Ы’l’»»Ы (ii7.il)
«1>«2
Если взаимодействие между частицами слабо, то приближенное выражение для волновой функции состояния двух частиц, близкого к состоянию невзаимодействующих частиц, в котором одна из частиц находится в состоянии пъ а другая в п% имеет вид
= ¦'К М Ч>«, (Яг) + Фя, Ы Ш- (117.12)
В случае N частиц на основанин сходной аргументации получим 4го = ^ (9i) • • • ЧЧ М ¦ ¦ • Фя, (qj) ¦ ¦¦%„ (Ям), (117.13)
где ^ означает сумму по всем N1 перестановкам координат р
частиц ft, q2t ..., qN.
Глава XX
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
§ 118. Вторичное квантование
Ансамбли одинаковых частиц могут быть рассмотрены особым методом, носящим название вторичного квантования. Сущность этого метода заключается в том, что в качестве независимых переменных для описания ансамбля вместо полного набора механических величин, характеризующих индивидуальные состояния отдельных частиц, берут числа частиц в этих состояниях. Каждое из этих состояний будем характеризовать тремя переменными: Lb L2, L3, относящимися к движению центра тяжести частицы и спиновой переменной s, если частицы имеют спин. Ради упрощения математического аппарата будем считать, что эти переменные имеют дискретный спектр, так что все состояния можно перенумеровать числом п так же, как это делалось в § 116 (под п разумеется совокупность значений четырех величин: Lb Lo, L3, s).
Обычно гамильтониан дается в координатном представлении, поэтому мы выполним сначала преобразование от координатного представления к «^-представлению, которое будем считать дискретным х).
Если в координатном представлении волновая функция системы N одинаковых частиц будет if(<7i, q2, •••> Qn> О» т0
х) В теории вторичного квантования часто берут импульсное представление (Li = px, L2 — py, L3 — pz). Однако импульсное представление непрерывно. Поэтому прибегают к искусственному приему, полагая рх = 2пНпх/1, ру = 2пНпу/1> pz — 2nfinz/l, где пХУ п{/, пг — целые числа, а / — некоторая большая длина (ср. § 120). Тогда импульсное представление становится дискретным. В окончательном результате переходят к / ->оо и тем самым освобождаются от этого искусственного допущения. Исчерпывающая теория вторичного квантования, применимая также и к случаю непрерывной последовательности состояний, была разработана В. А. Фоком (V. A. F о с k, Phys. Zs. d. Sov. Union 6, 425 (1934))*
§ 118] ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ 509
уравнение Шредингера для этой системы имеет вид
In N \
2 ЯЫ+2 W(qk, <7,)U, (118.1)
k=\ k>j J
fj2
где H (qk) = — V| + l/ (qk) есть оператор энергии k-й частицы,
U (qk) — потенциальная энергия k-й частицы во внешнем поле, a W (qk, qj) — энергия взаимодействия &-й и /-й частиц. Разложим теперь волновую функцию ij) по собственным функциям tynk(qu) операторов L2> L3, s точно таким же путем, как это делалось
в § 116. Тогда получим
?2, qN* 0 =
= 22---2с(пь Пг' •••’ nN’ О^Ы^Ы-'-^v^v)- (118.2)
Л1 л2 nN
с(пъ п2, /гдг, t) есть, очевидно, волновая функция нашей
системы в «/^-представлении. \с(пъ п2, nN, t) |2 есть вероятность того, что первая частица находится в состоянии (имеет четверку Li, L2, L3, s, обозначенную одной буквой пг), вторая частица в состоянии п2 (имеет четверку L'u Ь'ъ s', обозначенную через п2) и т. д. Подставляя (118.2) в (118.1), умножая уравнения слева на (qx) г|^2 (q2) • • • (<7л) и интегрируя по
qu q*> •••> qN, получим
Ш^(с(тъ m2, ..., mk, ..., mh ..., /) =
N
= 2 m2* •••’ Uk’ •••’ mi' •••’ +
N
+ 2 m2’ •••> яь ..., яу, ..., mAr’ 0- (П8.3)
*>/ nk n.
Здесь Hm^nk и УРтктгпкп. суть матричные элементы
я4 = 5 фтй ы Я Ы ^ Ы dqk, (118.4)
^тЛт/: nknj =
= 5 ФтЛ ы 4'*v (9у) W (<7*. ?/) г1Ч to) {qj) dqk dqj. (118.5)
Уравнение (118.3) есть уравнение (118.1) в «/^-представлении. В силу одинаковости частиц матричные элементы (118.4), (118.5) зависят лишь от значения квантовых чисел mk, my-, nk, rij, а не от номера частиц k, /. Обозначая какое-нибудь значение mk через т, пк через п, подобным образом т, через т\ rij через п\ координаты k-й частицы через q, a / — через q\ мы можем написать
510
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
(118.4) и (118.5) в виде
Нтк- пк = — 2,1 5 Ч& (?) V2 Уп (я) dq+ J (я) и (д) Ч>„ (я) Ля =
=^^ v*» {q) dq + S (9) u (q) ^ dq=Hmn’ (118-6)
IVmkm.- nkn. =
= $ ^ (я) Фш' (я') W (q, q') г|>„ (7) ijv (q') dq dq' = Wmm>, (118.7)
Амплитуды c(mly m2y .mN, /) (волновые функции в «L»-представлении) суть симметричные функции квантовых чисел тъ т2 » mN для частиц Бозе и антисимметричные функции для
-частиц Ферми (см. § 116). Поэтому значения этих амплитуд зависят лишь от того, сколько аргументов из их полного числа N (тъ т2, ..., тя) равно т, сколько равно т\ пг, ... и т, д., а не от того, какие именно из этих аргументов равны т, тг, т, ..., т. е. эти амплитуды являются функциями числа частиц в каждом из состояний. Обозначим эти числа через Nly N2, ... ..., Nmy ..., Nm', ..., Nm", ... и т. д. Следовательно, например, Nm равно числу чисел тк среди аргументов с(пги т2, ..., mN, t), значение которых равно т, Nm* равно числу чисел тк, значение которых равно и т. д.
