Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
В случае частиц Бозе числа Nm могут быть любыми. Напротив, в случае частиц Ферми, в силу принципа Паули, функция с (nil, т2, mN, t) обращается в нуль, если хотя два числа тку nij равны между собою, так что NП1 принимает только два значения 0 или 1: состояние может быть занято только одной частицей или вообще не занято.
Дальнейшие преобразования мы произведем для частиц Бозе. Наша задача заключается теперь в том, чтобы написать уравнение Шредингера (118.3), взяв в качестве переменных вместо квантовых чисел тъ т2у ..., числа частиц в этих состояниях NN2, Nm, ... Для этого нам нужно прежде всего изменить
нормировку амплитуд с. В самом деле, если рассматривать с как функцию чисел Nly N2y ..., Nmy ..., то j с (Nly N2, ..., Nmy ...,/) |2 есть вероятность нахождения Nx частиц в состоянии 1, N2 частиц в состоянии 2, ..., Nm частиц в состоянии т и т.д. Этаже вероятность выразится через с (тх, т2, ..., шдг, /) в виде
|c(iVb No, ..., Nm, ..., /) i2 = 2|c(mi, rtu, ..., mN, t) ]2, (118.8)
где сумма взята по всем с(т1у т2, ..., mN, t), имеющим N\ чисел тку равных 1, N* чисел тк, равных 2, и т. д. В силу симметрии все эти с равны между собою. Поэтому |c(Niy No, ..., Nm, ..., t) |2 =
= ЩЩ * т1 J ^ (^1> М'2,1 • • • > 0 Р» (118.8 )
•j 118]
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
511
откуда
c(Nu Nt, Nm, ..., /) =
/ ЛП \‘/з
= уД/1#! Д/2| ]\ftn I CimU т2ч t). (118.9)
Подставляя теперь в (118.3) вместо с{тъ т2у tnNy t) амплитуды с (Ni, N2i ..., Nmy ..., /), мы можем выполнить суммирование по номерам частиц k и /. Для этого воспользуемся (118.6)
и (118.7) и заметим, что с(ти т2у тку ..., mjy ..., mNl t) отличается от с(тъ т2> .пку mjy ..., гаЛ', /) тем, что
число частиц в состоянии тк = т уменьшилось на 1, а число частиц в состоянии пк = п увеличилось на единицу.
Подобным же образом с(тъ т2> ..., nkf ..., tijy ..., mNy t) отличается от с(тъ т2у tnky ..., mjy ..., mNy t) тем, что
число частиц в состояниях тк = ту rrtj^tn' уменьшилось на 1, а в состояниях пк = пу rij = nf увеличилось на 1.
На основании этих замечаний находим
т * X
хс (Nly ..., AJту Nm'y ..., N ПУ ..., Nnfy • ••> 0| ^
V м гг (N,1 ... (Nm- 1)! ... А^! ... (Мп+ 1)! ... Nп:\ ...\V2 w “ Jf\ j Х
п, т
Xc(Ni, ..., m — 1, ..., Nm't Afrc+l» ...? /г', /)-{-
+т2 2ад;г'г^,2'г'х
/?г, т' п, п'
X ^i! • • • -1)! ... (ЛУ-1)1. • • (Nn + 1)! ¦ ¦ ¦ (ЛУ +1)!... у/. х
хс(Nu ..., Nm~~ 1, ..., Nm— 1, ..., Nn-{-1.........Nn>-\-\, ..., t).
^ (118.10)
Деля на 2> получим
С (Л/1, ... | N my • • • » Nm’, * * • у N ПУ . .. , N n', . .. > t) “
=2 л™ (^+i),/2//^x
n,m
Xc(Nlt Nm- 1, .... AU .... W„+l, ..., AU ..., 0-b
+ + 1)42 {N"' + l)'/2Wx
Xc(Ni, ..., Nm—1, ..., Nm'—1» •••, Nn-{-1, ..., AVt li •••< 0-
(118.11)
512
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
Это и есть искомое уравнение, в котором за независимые переменные взяты числа частиц в отдельных состояниях. Это уравнение может быть записано в очень удобной форме, если ввести операторы ап и а*, которые действуют на функции от чисел Nny следующим образом:
atf{Nu yv2, ..., Nn, ..., Nm, ...) =
= (Nn+l)'bf(Nu ^ ЛГя+1, ..., Nm, ...), (118.12)
anf(Ni, N2, .... Nn, ..., Nm, ...) =
= Nn‘f (Ni, No.......Nn-\, ..., Nm> ...), (118.12')
anf(Ni, N2, ..., 0„, .... Nm, ...) = 0. (118.12")
Эти операторы, очевидно, обладают следующими свойствами: а%ап = Nn> ana*n==Nn+ 1, (118.13)
&tп&'п @п&т ~ ^тп* (118.14)
Теперь нетрудно видеть, что с помощью этих операторов уравнение (118.11) может быть написано в виде
indc{Nx, N^2, ..., Ntj t)j (П815)
где
й = ^ + 1 ^ ^a^Clfa-Wmm-.nn'a^n’. (118.16)
tn, n m, m' n, n'
Оператор H есть гамильтониан системы, выраженный через операторы ап и а*. Его обычно называют вторично квантованным. Это уравнение вполне эквивалентно исходному уравнению (118.1) для N частиц в конфигурационном пространстве. В сущности уравнение (118.15) есть уравнение (118.1) в «jV»-представлении, т. е. в представлении, в котором в качестве переменных взяты числа частиц Nlf N2> Nm, ... в различных квантовых состояниях 1, 2, ..., т, ...
Однако уравнение (118.15) в одном отношении общее уравнения (118.1); последнее написано для системы N частиц, в уравнении же (118.15) полное число частиц явным образом не входит. Оно является постоянной интегрирования. Действительно, оператор Н (118.16) в каждом члене содержит одинаковое число операторов а и операторов а*. Так как операторы а* увеличивают число частиц в каком-либо из состояний на 1, а операторы а уменьшают число частиц в каком-то из состояний на 1, то полное число частиц N = ^Nm под действием оператора Н не
§ 1181
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
513
меняется, так что
™ = [Н, N] = 0. (118.17)
Таким образом, N = const. Поэтому уравнение (118.15) справедливо для любого числа N одинаковых частиц Бозе.
Гамильтониан (118.16) теории вторичного квантования можно написать в другой форме, которая соответствует энергии некоторого волнового поля.
Пусть волновая функция одной частицы есть ^(^). Разложим эту функцию по собственным функциям 'iMg) операторов Lb L2, U s:
iH<7) = 2aA(<7)- (118.18)
