Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
=С(ет + 8т<). (120.5")
1 ± Nm 1 + Nm,
Обозначая ---"I— = ф (е,„), мы перепишем (120.5") в виде
1 — N т
ф (ет) ф (ет') = С (гт -f гт>). (120.7)
!) Мы называем (120.4) «предположением», так как в выражении для вероятности перехода (120.2) разумеются истинные значения населенности уровней Nn, Nn,, Nnu Nm,y а в (120.4) стоят средние значения Nn,, Nm, Nmr-Равенство (1 ± Nm) (1 ± Nm,) N„N„, = (1 ± Nm) (1 ± Nm,) NnNп, не является очевидным и выполняется не при всех условиях.
§ 120] ГАЗ ФЕРМИ-ДИРАКА И ГАЗ БОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА 521
Дифференцируя это равенство один раз по гт и другой раз по гт> и деля один результат на другой, найдем
фЧ*Ц = ср^г) =_ 1 (120.8)
Ф (ет) ф (Sm-) ©
где 0 —некоторая постоянная, не зависящая от е. Интегрируя теперь (120.8) по е,„, находим
ет
<р(еот)=<Г е'+а, (120.9)
где а —постоянная интегрирования. Отсюда находим для среднего числа частиц в состоянии с энергией ет:
^ = --------------------- (120.10)
е ±1
(знак + для частиц Ферми, знак — для частиц Бозе). При большой энергии частицы (е->оо) закон распределения по энергиям должен совпадать с классическим законом Больцмана
__ ет
N (ет) = const • е кТ, (120.11)
где k — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура. Переходя в (120.10) к пределу ет->со и сравнивая с (120.11), находим, что 0 = kT. Таким образом, окончательно
= 1---------• (120.12)
Гт -«
екТ ±1
Постоянная интегрирования а определится из условия равенства числа частиц во всех состояниях полному числу частиц в рассматриваемом объеме газа:
%Nm = N. (120.13)
m
Совокупность частиц, подчиняющихся закону распределения
(120.12) со знаком (+), носит название газа Ферми-Дирака, а со знаком (—) — газа Бозе —Эйнштейна. Закон
(120.12) явно написан для дискретных состояний.
Введем число состояний на интервал энергии de. Обозначим его через l/p(e)de, где V — объем всего газа. Тогда, суммируя
(120.12) по всем квантовым состояниям, энергия которых попадает в интервал г, г + ^г, мы получаем среднее число частиц газа, имеющих энергию между е, e-fde (закон распределения по энергиям):
522
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА |ГЛ. XX
и деля на V, получаем то же число для единицы объема газа
/(е) ds = -?p(e) —. (120.14)
е® ± 1
Вместо (120.13) теперь следует написать
ОО 00
(120.15)
о 6 е 0 “ ± ,
где п = N/V — плотность числа частиц1).
Распределение (120.14) со знаком (+) носит название распределения Ферми —Дирака, а со знаком (—) —распределения Бозе —Эйнштейна. Наиболее существенной особенностью распределения Ферми —Дирака является существование нулевой энергии газа. Чтобы в этом убедиться, положим
а = ^-; тогда имеем
оо
= f(8) = _?g)—. (120.16)
0
При 0 -> О (низкие температуры) е0 должно быть больше нуля (если энергию 8 отсчитывать от нуля так, что г>0), иначе при 6-^0 /(е)->0 и нельзя удовлетворить первому равенству (120.16). Далее, мы видим, что при 0->О /(е) = р(е) для е<е0и/(г) = 0 для 8 > 80> т- е- ПРИ абсолютном нуле все состояния в газе Ферми —Дирака заняты вплоть до состояний с г = остальные же состояния свободны. Энергия частиц, занимающих состояния от 8 = 0 до 8 = 80, и есть нулевая энергия газа. Более подробное рассмотрение показывает, что такое распределение очень мало меняется с температурой, если только температура остается такой, что Q = kT^e0. е0, очевидно, есть максимальная энергия частицы в газе Ферми —Дирака при абсолютном нуле температуры.
Мы вывели распределения Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, исходя из гипотезы о столкновениях (120.4). Эти же распределения могут быть найдены из общих положений термодинамической статистики (ансамбль Гиббса) без каких-либо предположений о кинетике процессов 2).
*) Очевидно, что р (е) не может зависеть от объема газа, так как иначе функция распределения также зависела бы от него. Такая независимость р (в) от V всегда имеет место, если объем газа V значителыю больше X3, где X — длина волны в преобладающем числе занятых состояний.
2) См. М. А. Лео нто вич, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944*
§ 120J
ГЛЗ ФЕРМИ—ДИРАКА II ГАЗ БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА
523
Отличие расчетов, базирующихся на квантовой механике, от расчетов, базирующихся на классической механике, заключается в разном способе подсчета числа возможных состояний. В квантовой механике состояние характеризуется заданием симметричной или антисимметричной волновой функции х?у и различные перестановки частиц по отдельным состояниям не дают т-ювого состояния (х? переходит сама в себя или меняет знак). С точки зрения классической механики каждая такая перестановка означает новое состояние частиц. Классическая статистика, базирующаяся на таком подсчете состояний, представляет собой предельный случай квантовой статистики, в которой число состояний исчисляется по числу различных волновых функций (можно показать, что классическая статистика получается из квантовой, если число частиц в объеме средней длины волны к3 много меньше единицы). В квантовой области различают две статистики — ст а т и с т и к у Ферми — Дирака (для частиц, подчиняющихся принципу Паули, — антисимметричные Y) и статистику Бозе —Эйнштейна (симметричные ?, частицы Бозе). В своих принципиальных основах эти две статистики, конечно, не различаются.
