Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Оба состояния отвечают суммарному спину по оси OZ, равному пулю, и оба принадлежат одной и той же энергии Е. Поэтому этой же энергии может принадлежать и любая суперпозиция этих состояний. Среди них единственная, описываемая антисимметричной функцией Say имеет вид*)
Sa ($л» s-o) “ у2(5-1) (s&) “ v2 (s*i) S+42 feO]- (121.13)
Таким образом, мы определили вид антисимметричной спиновой функции. Если спины электронов параллельны, то антисимметричные состояния, очевидно, невозможны. В этом случаемы можем иметь следующие состояния спина электронов:
Ss (sn, sz2) = S+Va (szl) S+Va (s*2), (121.14)
5; (szlt sz2) = S_i/2 (szl) (121.14')
Эти состояния с самого начала симметричны по спину электронов. Кроме того, из функций (121.12), (121.12') можно образовать еще одну симметричную в спинах электронов функцию, именно,
*Ss (szi, SZ2) = i71 [S+Vi (szl) S_i/2 (sz2) + S_i/2 (szl) s+V. Ы]. (121.14")
Таким образом, мы имеем всего три симметричные по спину функции Ss, S's и Первые две относятся к суммарному спину 1, но в состоянии Ss спин направлен по оси OZ, а в состоянии SJ — против оси OZ. Несколько менее ясно то обстоятельство, что состояние S's" также относится к суммарному спину 1, но только он ориентирован перпендикулярно оси OZ. В этом можно убедиться
г) Множитель у^ присоединен из соображений нормировки Sa к 1.
В самом деле, функции Shl^(sz) нормированы к 1 (согласно (60.7). Если мы образуем произведение
Sefei. S;2)Sa(szь sz2)
fi П
и просуммируем по обоим спинам szl~ } sz2— — "2~ ’ Т0 мы* КаК легко убедиться, пользуясь (60.7), получим ! (см. также § 106).
530
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
[ГЛ. XXI
проще всего следующим образом. Мы берем в качестве спиновых переменных проекции спина на ось OZ. Если речь идет о состоянии, в котором спин ориентирован перпендикулярно к оси OZ, то эти переменные szX и sz2 должны иметь неопределенное значение
±у, т. е. состояние со спином, перпендикулярным к оси OZ,
должно записываться в szl и sz2 переменных так, чтобы фигурировали все возможные значения szi и s^2. Кроме того, мы ищем состояние, симметричное в спинах. Тогда (121.14") есть единственный способ написать волновую функцию этого состояния1). На рис. 88 приведено схематически расположение спинов для найденных нами состояний.
Таким образом, состояния, симметричные в коорди-Рис. 88. Схема сложения спинов двух иатах центров тяжести элек-
электронов. тронов Ф5, суть состояния с
На схеме отменены принятые в тексте обозна- СуММДрНЫМ СПИНОМ ЭЛеКТрО-
чения волновых функций соответствующих ... „,.„„
состоянии. нов, равным нулю. Состояния,
антисимметричные в координатах центров тяжести электронов Фа, суть состояния с параллельными спинами электронов (суммарный спин равен 1). Таких состояний имеется три соответственно трем квантовым ориентациям суммарного спина. Уровни атома гелия распадаются поэтому на два класса: на уровни с антипараллельными спинами и на уровни с параллельными спинами.
!) Утверждение о принадлежности состояний S', S'' и S's" к спину 1 (сложение спипов электронов) может быть проверено прямым вычислением. Если обозначить операторы спинов электронов, определяемые матрицами (59.12), через sx и s2, то оператор полного спина представится матрицей
S2 = Sj -j- Sr! + 2SiS2*
Собственная функция S оператора s2 должна удовлетворять уравнению
s2. S = Ш8 (/, + !)• 5,
где ls — число, определяющее полный спин. Из этого уравнения можно убедиться, что /5 имеет всего два значения: /5 = 0 (антипараллельные спины) или /5=1 (параллельные спины). Далее непосредственной подстановкой в это же уравнение S', S'' и S"' можно убедиться, что эти функции суть функции, принадлежащие /5=1.
Простые выкладки, нужные для доказательства этих предложений, предоставляем сделать самому читателю.
Ортогелии.
\ I
Ss 4"
%
о
Полный спип=0 Полный спиН
ь %
'§ 121]
АТОМ ГЕЛИЯ
531
Если мы учтем, что от ориентации спина по отношению к орбитальному движению хотя очень мало, но все же зависит энергия квантового уровня, то мы должны будем прийти к заключению, что уровни с антипараллельными спинами будут одиночные (синглетные), а уровни с параллельными спинами будут распадаться на три близких соответственно трем возможным ориентациям суммарного спина относительного магнитного поля, создаваемого орбитальным движением. Таким образом, эти уровни будут тройные (т р и it л е т н ы е)х).
Самым замечательным свойством этих двух классов состояний гелия является то, что между ними невозможны (почти невозможны) квантовые переходы. В самом деле, спиновые взаимодействия очень малы, и если ими пренебречь, то гамильтониан электронов атома гелия, даже при действии внешних полей, например светового поля, будет симметричным относительно координат электронов, так как внешнее поле одинаково действует на оба электрона. Таким образом,
Н{гь r2) = Н (г2, Г1). (121.15)
Изменение волновой функции Y (гь r2, szl, sz2, t) за время dt дается уравнением Шредингера, которое мы напишем в виде
ЙДЧГХ. r2, szl, sz2, 0 = -)гЯ(гь Г2)?(гъ г 2, sn, sz2, t) dt (121.16)
подобно тому, как мы это делали в § 115. Если Y (гь r2, szl, s~2, t) есть в какой-то момент симметричная функция координат электронов гь г2, то приращение этой функции dtW, согласно (121.16) и ввиду (121.15), будет также симметричным. Подобным же образом, если Ч; (гь r2, sz 1, sz2, t) антисимметрична, то и приращение будет антисимметричным. Следовательно, симметричное в координатах состояние остается симметричным при всех возможных изменениях. Равным образом, антисимметричное состояние также остается антисимметричным. Следовательно, невозможны переходы из состояний Yi (121.10) в состояния Yu (121.10') и обратно.
