Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
a%an = Nn(0 или 1), апа%=1— Nn,
~ ^тп'
(118.25)
(118.26)
вместо знака ± в формулах (118.24) писать vn (v* = ±l).
516
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
Как видно, правило перестановки для операторов а в случае частиц Ферми отличается знаком от правил перестановки для частиц Бозе.
Пользуясь (118.18) и повторяя выкладки, ведущие к (118.20), получим
*(?) ?*(?') + W*(q')W(q) = 6 (q'-q). (118.27)
А
Все остальные формулы, в частности, выражение для Я (118.21), остаются без изменения. Таким образом, гамильтониан В совместно с правилом квантования (118.27) можно рассматривать как вторично квантованный гамильтониан для электронных волн, «классическое» уравнение для которых есть (118.23). Правило квантования для обоих случаев может быть записано в одной формуле
[*(?). **fa')L = 8 (q'-q), (118.28)
причем знак + берется для частиц Ферми, а знак — для частиц Бозе.
В современной физике приходится иметь дело с явлениями рождения и уничтожения частиц. Эти явления, строго говоря, выходят за рамки квантовой механики. Однако метод вторичного квантования ввиду того, что в него не входит явным образом полное число частиц, допускает простое обобщение на случай переменного числа частиц и тем самым оказывается пригодным для описания явлений рождения и уничтожения частиц. Действительно, если к гамильтониану Я (118.16) добавить член вида
Q = + (118.29)
п п
где Qn, QJl суть некоторые операторы, характеризующие взаимодействие частиц с какими-либо другими частицами, способными поглощать или излучать первые, то полное число частиц N уже не будет интегралом движения, так как [Q, ЩфО. При этом члены, содержащие а*, описывают рождение частиц, а члены, содержащие а,— их уничтожение (см. (118.12) и (118Л2')).
Если кванты света (общее —фотоны) рассматривать как частицы, то можно процессы испускания и поглощения света рассматривать как процессы рождения и уничтожения фотонов. Основанная на этой мысли квантовая теория излучения была развита Дираком1). Подобным же путем можно изучить явления возникновения и уничтожения электронов и позитронов при (5--распаде,
]) Г1. А М. Д и р а к, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960, гл. 10; В. Гайтлер, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.
§ 119]
МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
517
при рождении и уничтожении пар, явления образования и распада мезонов и др. Все эти явления рассматриваются квантовой теорией полей1).
Помимо квантовой теории поля, теория вторичного квантования находит также обширные приложения в области квантовой статистики.
§ 119. Теория квантовых переходов и метод вторичного квантования
Вычислим теперь вероятности перехода под влиянием возмущения из одного квантового состояния в другое в ансамбле одинаковых частиц. Для расчета воспользуемся методом вторичного квантования. Чтобы конкретизировать задачу, рассмотрим переходы под влиянием слабого взаимодействия между частицами.
В этом случае целесообразно выбрать переменные Lly L2, L3, s, описывающие состояние частиц таким образом, чтобы одна из них (скажем Lx) равнялась энергии частицы Lx (qk) = Е (qk). Тогда матрица Нтп будет диагональной. Если через гт обозначить собственные значения энергии частиц, то Нтп--=&т8тп. При таком выборе переменных уравнение (118.15) имеет вид
ih~c(Nu N2, ...,t) = ^mNmc(Nu N2t t) +
m
+ -2- 2 a^afn’W mm’nn’ anan-c (N lt N2, .... t). (119.1)
m, m't nn',
Сумма ^гтЫт = E есть полная энергия всех частиц без учета их
т
взаимодействия. Вводя вместо функций c(Nu N.,, ..., ?) медленно
i уе ^ /
меняющиеся амплитудыb (Л/ь N2, ..., t)=c(Nlt Дг2,..., t)eh ^ т т , получим вместо (119.1) уравнение для b(Nu Ns, ..., t)\
ih±b(Nlt N2, ..., 0 = i 2 r^(e'»+em'"e»-en',< x
tn, tntl, n'
X ci&aZ-W тт'пп'&п@п'Ь (Nu N2, ..., t). (119.2)
Допустим, что в начальный момент времени населенность различных состояний характеризуется числами N\, №2, ..., так что все амплитуды b при t = 0 равны нулю, кроме
b° — b (NJ, TVS, Nm, ..., ..., N1 ..., N%>9 ...)=1.
г) H. Н. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантованных полей, «Наука», 1973; А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий, .Квантовая электродинамика, «Наука», 1969.
518
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
Пользуясь обычным приемом теории возмущений, подставим в правую часть уравнения* (119.2) начальное значение Ь°. Тогда, имея в виду свойства операторов а*и cftr, апу ап> (см. (118.12) и (118.12')), получим уравнение для определения Ь{1) в первом приближении
ih^b^(Nl N1, ..., Л^+1, .... Nh>-j- 1, №„-l, ...
..., Nb-l, ..., t) = e~^e’n+e’n'~En~En')< (№m+ 1)*'*X
X (№m> + 1)‘/2 №nh№nlu Wmn-, пп'- (П9.3) Интегрируя это уравнение по времени и вычисляя вероятность перехода в единицу времени Ртт\ nnf — | Ь{1) |2 (ср. вычисления
§ 84), найдем
Ртт', пп' = (Nnm + 1) № + 1) X
X I Wmm', nn' i2 6 (em + Em' ~ Bn — 8„'), (119.4)
причем наличие «6»-функции обеспечивает закон сохранения
энергии.
Подобным же образом, понимая в (119.2) под а^, а*>, ап\\ап> операторы Ферми—Дирака (118.24), получим для случая частиц Ферми
Ртт', пп' = (1 - АС) (1 - ВД "J I Wmn,'. пп' |2 X
