Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
X б (бт -}- &т' Еп 8/i')* (1 19.5)
Эти формулы показывают, что в системе одинаковых частиц
вероятность перехода из начального состояния (пу п') в конечное (т, т') зависит не только от числа частиц в начальном состоянии (пу п')у но от населенности конечного состояния (т, т'). Это совершенно новый результат квантовой теории, не имеющий места в классической механике. Для частиц Бозе вероятность перехода тем больше, чем больше частиц уже находится в конечном состоянии. Частицы Бозе имеют, таким образом, тенденцию накапливаться в одном состоянии. Напротив, для частиц Ферми вероятность перехода равна нулю, если состояние, в которое происходит переход, занято (Nm = 1 или Л^'=1). Это есть новое выражение для принципа Паули.
§ 120. Гипотеза о столкновениях. Газ Ферми — Дирака и газ Бозе — Эйнштейна
В классической кинетической теории предполагается, что вероятность перехода частиц в результате столкновения из некоторого состояния п и п' (энергии частиц гп и гп>) в другое состояние т
§ 120]
ГАЗ ФЕРМИ— ДИРАКА И ГАЗ БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА
519
и т' (энергии частиц гт и гт') пропорциональна числам частиц в начальных состояниях Nn и Nn*\
Ртт', пп’ — Атт\ nn'NnNn'» (120. 1)
Если Nn и —среднее число частиц в состояниях п и п\ то предполагается в соответствии с (120.1), что среднее число переходов из п, п' в ш, т' равно
Р тт\ пп’— A mm*, пп'N nN п* у (120.1 )
при этом Amm'tnn’ = Ann'tmm' (так называемый «принцип детального баланса»1).
На основании квантовой механики мы должны для газа, состоящего из одинаковых частиц, сделать другое предположение
о среднем числе переходов под влиянием столкновений. Как было показано в предыдущем параграфе, вероятность перехода зависит не только от числа частиц в исходных состояниях, но и от степени населенности конечных состояний, именно, вместо (120.1) в согласии с (119.4) и (119.5) имеем для вероятности столкновения в случае частиц Ферми
Ртш\ пп' = Апип', nn'{\-Nm){\- Nm') NnNn> (120.2)
(Nm, Nm', Nni Nn’=l или 0). В этой формуле явно выражен принцип Паули: если одно из конечных состояний занято Nm = 1 или Nm'= 1, то перехода быть не может. Подобным же образом для частиц Бозе имеем
Ртт', пп' == Amm'tnn' (Nm+l)(Nm,+ l)NnNn>. (120.3)
Здесь множители (Wm+1) и (А/т'+1) не имеют столь наглядного значения, какое имеют множители (l—Nm)y (1 —Nm') в случае частиц Ферми. Однако необходимость наличия таких множителей была нами доказана (§ 119). Как уже отмечалось, частицы Бозе имеют тенденцию к ассоциации: они переходят в наиболее населенные состояния2).
Равенство величин Атт^пп» и Апп»%тт» (обратный переход) вытекает в квантовой механике из того факта, что Атт^пп» пропор-
х) Этот принцип справедлив не всегда. Он, во всяком случае, справедлив в первом приближении теории квантовых переходов (см. §§ 84, 85) и строго справедлив, если силы взаимодействия между частицами — центральные (ср. §44 и цитированную там работу Д. И. Блохинцева).
2) Это приводит к замечательному свойству газа из частиц Бозе: при низкой температуре наступает своеобразная конденсация этого газа, даже если предположить, что газ —совершенно идеальный, так что силы взаимодействия бесконечно малы. См. A. Einstein, Berichte der Preuss. Akad. 3 (1925). Теория идеального газа Бозе была развита Н. Н. Боголюбовым (Jouni. Phys. USSR XI, 23 (1947)). Эта теория позволяет дать толкование интересному явлению сверхтекучести гелия.
520 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
ционально квадрату модуля матричного элемента энергии взаимодействия a Wmm’,n!l'^=Wiin\mm' (см. сноску на стр. 519).
В соответствии с (120.2) и (120.3) для газа из одинаковых частиц в квантовой механике для среднего числа переходов под влиянием столкновений берут вместо (120. Г) выражение
Ртт',пп- = Атт%ш, (1 lb Nm) (1 ± Nm-) NnN„’, (120.4)
причем знак — берут для частиц Ферми, а знак + для частиц Бозе. Формулу (120.4) мы будем рассматривать как новое предположение о среднем числе столкновений частиц, основанное на квантовой механике1). Очевидно, что (120.4) превращается в классическое выражение (120.1), если среднее число частиц в каждом из состояний мало в сравнении с единицей.
Найдем теперь распределение по энергиям при тепловом равновесии в газе частиц Бозе или Ферми. При тепловом равновесии число переходов в состояния п и п' в результате столкновения частиц, находившихся в состоянии т и т\ должно равняться числу обратных переходов. Из (120.4) тогда получаем (в силу равенства Атт’, nn* ~ Апп,1 тт’)
(1 ± Nm) (1 ± Nm’) NnNn. = (1 ± Nn) (1 ± Nn.) NmNm'. (120.5)
Далее, при равновесии среднее число частиц в каждом из состояний Nm будем считать только функцией энергии этого состояния гт [Nm = N (гт)]. На основании закона сохранения энергии при столкновениях (ср. (119.4) и (119.5)) имеем
em + em' = 8„ + 8„'. (120.6)
Из (120.5) получаем, что
..??-m_-= С, (120.5')
1 ± Nm 1 ± Nm. ~ 1 ± Nn 1 ± Rn.
где С —некоторая постоянная, которая может зависеть (на основании сделанного предположения об N и закона сохранения
(120.6)) лишь от суммы em + em' (или е,г + 8л' = ет + 8т')- Таким образом,
