Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
-2д -q 0 q
Рис. 5S. Образование разрывов (запрещенных полос) в непрерывном спектре при наложении периодического возмущения.
Е == Е (q) + Я/2 до следующего разрыва и т. д. и из зон запрещенной энергии от ? = = E(q) — k/2 до E = E(q)Jrk/2 и т. д. Эти запрещенные участки энергии отмечены на оси ординат штриховкой. При малой величине возмущенного поля Я->0 разрывы становятся очень узкими. Следовательно, спектр частицы, движущейся в периодическом поле при малой амплитуде поля, является как бы обращением дискретного спектра, характерного, например, для. атомов. В дискретном спектре «дозволены» только некоторые значения энергии Еъ Е2, ..., а остальные значения «запрещены». В рассматриваемом случае широкие участки энергии «дозволены», а некоторые узкие полоски запрещены.
§ 76] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 319
На рис. 58 помимо вычисленного нами разрыва в сплошном спектре Е показано еще плавное изменение Е в функции р вблизи этих точек разрыва. Это изменение могло бы быть получено и из нашего расчета, если бы мы учли, что решение (76.18) не годится не только в точках p=^±q, где оно просто обращается в бесконечность, но и во всех точках, где
\Е(р±2д)-Е(р)\ъК, (76.25)
так как в этой области импульсов добавок к ?, хотя и не бесконечен, но велик. Таким образом, следовало бы исследовать поведение решений в окрестности точек p = ±q. Этот расчет мы опускаем.
Существенно, что наличие этих разрывов сказывается на виде функции Е (р) вблизи разрыва и, таким образом, меняет число состояний 'фр (которое мы можем считать пропорциональными dp), приходящихся на интервал энергии dE. Именно, для
невозмущенной задачи ^ = у, а для возмущенной jg = °° в точках разрыва энергии. Этот результат может быть получен и без специального расчета. В § 55 мы показали в общем виде, что для частицы, движущейся в периодическом поле, групповая скорость
_ 1 dA — dA V ~~~ ti dk dp
на краях зон равна нулю. То, что в нашем примере групповая скорость на краю зоны равна нулю, следует уже просто из того,
i ?*\
что на краях зон мы имеем не бегущие [е п) волны, а стоячие
(76.24) и (76.24').
Глава XIII
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
§ 77. Постановка вопроса в теории столкновений микрочастиц
Теория столкновений микрочастиц образует в настоящее время одну из весьма обширных глав атомной механики. В нашем курсе мы не имеем возможности подробно излагать эту теорию и ограничимся лишь освещением самой постановки вопроса в теории столкновений и изложением простейших методов ее исследования.
Представим себе некоторую частицу А> которую для определенности будем считать атомом, и падающий на нее поток частиц В> которые для .определенности будем считать электронами. Поток частиц В пусть падает по направлению OZ (рис. 59). Электроны В, сталкиваясь с атомом, могут претерпевать изменение своего состояния в двух отношениях. Во-первых, они изменяют направление своего движения, во вторых, они могут отдать некоторую часть е своей энергии Е атому А. В этом случае мы говорим о неупругом столкновении, или неупругом рассеянии. Если г = 0, то столкновение называют упругим (упругое рассеяние). В опыте интересуются числом электронов (частиц В), проходящих в 1 сек через площадку dS (рис. 59), поставленную перпендикулярно к лучу, проведенному из центра рассеивателя А. Обозначим поток частиц, проходящих через эту площадку и имеющих энергию ? —в, через dNе. Это число dNE пропорционально размерам площади dS (поскольку она мала) и обратно пропорционально квадрату расстояния до рассеивателя (г). Кроме того, dNB, очевидно, пропорционально потоку частиц в первичном пучке N. Таким образом,
dNe = No (г, 0,ф)-^-, (77.1)
где N — число частиц, проходящих через площадь в 1 см2 в 1 сек в первичном потоке, а а (е, 0, <р) — некоторый множитель пропорциональности между dNe и N. Величина есть телесный угол
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ МИКРОЧАСТИЦ
321
dQj под которым видна площадка dS из центра рассеивателя А. Отношение определяет вероятность рассеяния в угол dQ с потерей энергии е. Это отношение равно
= о (е, 0, ф) dQ. (77.2)
Из (77.1) следует, что с имеет размерность площади (так как
Рис, 59. Столкновение частиц по квантовой мехаиике.
А — рассеивающий атом; В — падающии пучок частиц.
[dNe] — [/V] = то [о] = L2) и называется дифференци-
альным эффективным сечением (атома А) для нбупру-гого рассеяния в угол dQ с потерей энергии г.
Величина
°ге = -^= $<т(е,е,ф)<*Й, (77.3)
где интеграл взят по полному телесному углу 4я, дает так назы-
ваемое полное эффективное сечение для неупругого столкновения с потерей энергии е. Ns = aeN есть число (рассчитанное на 1 сек) частиц, потерявших при столкновении энергию е при первичном потоке N частиц через 1 см2 в 1 сек.
Если потеря энергии е может принимать непрерывные значения, то для потери энергии, лежащей между е, e-\-de, вместо (77.2) следует писать
= о (е, 6, ф) de dQ. (77.2')
В этом случае о (е, 0, <p) d& будет иметь смысл дифференциаль-
ного сечения для неупругого рассеяния в угол dQ с потерей энергии в интервале г, e + de.
322
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
