Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 (72-1б)
7 = 0 m = — /
Средний электрический момент Д~, в состоянии q>, ввиду участия в суперпозиции (72.16) функций с различными значениями / не равен нулю (см. расчет в следующем параграфе)..
Поэтому и средняя добавочная энергия в поле ё в состоянии ср
W = — %DZ (72.17)
будет, вообще говоря, не равна нулю и пропорциональна полю. В результате смещение уровней будет пропорционально полю, что и наблюдается на самом деле. Таким образом, сущность различия в поведении в электрическом поле атома водорода и водородоподобных атомов заключается в том, что в первом случае в группе состояний, принадлежащих уровню ЕЦ, имеется электрический момент, а во втором случае в группе состояний атома, относящихся к уровню Eni, электрический момент отсутствует и появляется только в результате поляризации (деформации) атома.
§ 73. Расщепление спектральных линий атома водорода в электрическом поле
Вывод общей формулы для расщепления уровней водорода в электрическом поле читатель найдет во многих курсах. Мы ограничимся разбором примера, на котором легко выяснить всю сущность дела. Именно, мы рассмотрим расщепление второго квантового уровня атома водорода (п = 2) (первый уровень не вырожден и потому не расщепляется). Таким образом, мы берем наиболее простой случай.
73]
РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИИ АТОМА ВОДОРОДА
303
Указанному квантовому уровню принадлежат четыре состояния, характеризуемых следующими волновыми функциями:
^200 = ^20^)^00 s-терм,
^210 == R21 По,
Ьи = R21 (г) Yu, • р-термы.
^21, -1 == R2I (Г) Yit -1 ,
Согласно (25.16)
У“=/?с059’ y.L.=/|sin«,i-..(73.2)
(7-3.1)
V4
Далее, из (50.19) получаем радиальные функции R, ^20 _ V2а3 6 2а 0 ~ 2а} ’
ш•
я
1
2а
/баз
2а’
(73.3)
где а —радиус орбиты Бора, a и нормирующие мно-
жители. Пользуясь тем, что x = /-sin0coscp, «^/-втбвтф, г — = г cos 8, мы можем написать функции (73.1) в виде
1
^200 = = у~ RtO = /('').
Ьи = iK = У 4й Кч у = Р (г) г,
x+iy
,x + iy
(73.4)
Наиболее общим состоянием, принадлежащим уровню Е\> будет
Ф=2С<Л- (73.5)
а — 1
Чтобы определить приближенно квантовые уровни и волновые функции при наличии внешнего электрического поля Ш согласно теории возмущений, нужно решить уравнения (68.10), которые в нашем случае имеют вид
4
[EI-E + Wрр]сэ + 2 WfiaCa = 0, а, р = 1, 2, 3, 4, (73.6)
= J dv. (73.7)
304
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XII
Из представления функций в форме (73.4) легко видеть, что все интегралы (73.7), за исключением двух, именно,
(73.8)
в силу нечетности подынтегральной функции относительно г, равны нулю. Интеграл же (73.8) легко вычисляется в сферических координатах. На основании (73.3) и (73.4) имеем
Wli=W21 = eSy(r)F(r) z2 dv,
Wl2
Имеем
СО Я ^Я _ -
r'e,i У Is
4л I '\2с
ООО
2а
2а
я 2я
я 2л
(73.6')
z2 sin 0 dQdq> — r2 jj cos2 0 sin 0 d0d(p —4”ra. oo 6 6
Вводя переменную ? = r/a, получаем окончательно
Ф °°
Wls =-- W21 = § J e- (1 - I* dl = - 3еПа. (73.8') о
Напншем теперь систему уравнений (73.6) в явном виде. На основании сказанного о матричных элементах Wafi, получаем
(El-E)c1 + WltPt = 0,
(Ei-E)c2 + WolCl = 0,
(?2-?)с3 = 0,
(?$-?)с4 = 0.
Определитель этой системы Д., (Е) должен равняться нулю (см. § 68):
0 0
о о
?2 — Е 0
’О Ei — E
= (El - Е)2 [(?"2 - ?)2 - W2U] = 0. (73.9)
Отсюда находим корни ?ь ?2, ?3, ?4, которые равны энергии возмущенных уровней:
Ei = ??> + E2 = El-Wa, ?3 = ?, = ??. (73.10)
Таким образом, вырождение снято только частично четверной уровень расщепляется лишь на три разных'). Картина этого расщепления приведена па рис. 54.
Д2 (?)
U712
1^21
0 0
0 0
]) Без поля мы имели гамильтониан, обладающий сферической симметрией. При наличии поля" еще остается симметрия вращения вокруг направления поля.
§ 73]
РАС1ЦЕПЛЕНПЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ АТОМА ВОДОРОДА
305
В результате вместо одной спектралыюп липни, отвечающей переходу E'1-^E'l (переход изображен на рисунке стрелкой а), мы получим три линии, отвечающие переходам:
(a) Е3> Е^-^Е°и
(b) Ег^Е\9
(c) Е2->Е].
Это и есть явление расщепления спектральных линий в электрическом поле. (Заметим, что ради простоты мы рассчитали расщеп-
Е?< ____
fL
Щ'
дез поля
U
Ivu
В поле
Рис. 54. Расщсплснис уровня п — 2 атома водорода в электрическом поле.
леипе первой линии ультрафиолетовой серии Лаймана, на самом деле Штарк изучал расщепление" линий серии Бальмера (видимый свет).)
Из (73.10) и (73.8') следует, что разница ДЕ в уровнях энергии Ег и Е2 равна 6 еШа, т. е. Д Е ^3 - 10 8ё эв, если 'ё дано в в/см. Расщепление маленькое, даже для ?=104в/сл1, Д?=--3- 10-4 эв, а разность .??> — ?}я^10 эв.
Вычислим теперь волновые функции ср в нулевом приближении, относящиеся к уровням ?ь Е2, Е3 и Ех. Для этого нужно найти амплитуды са из уравнений (73.6'). Подставляя в (73.6') Е = Е3 = = ?5, находим, что с3 и с±Ф 0, а сг = с2^0. Следовательно, для несмещенных уровней наиболее общее состояние описывается функцией
ф *= + crfi, Е = (73.11)
c:i и сI произвольны (вырождение не снято). Подставляя в (73.6') E^Ei^ El + ^12» получаем с3 = с4 = 0, cL = с2. Поэтому уровню Ех отвечает волновая функция
