Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 108

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 229 >> Следующая

“ М=- тпр^тг,д = - wrmhfi- <76-13)
Подставляя это значение и(р') в (76.9) и (76.7), мы находим
. /\ ю/ч ?Wp'pVP'(x)dP' /7С ...
¦фр (х) —-фр (л-) j • (76.14)
Интеграл здесь перечеркнут, что означает, что при интегрировании мы должны исключить точку р'—р, так как в этой точке формула (76.13) теряет смысл. К тому же, функция ^p(*) (р'=р) уже выделена из интеграла особо1).
Необходимым условием состоятельности нашего метода решения является малость добавка в (76.14), т. е.
|я|>р (x)-«W|<t« «!• (76.15)
Из (76.13) видно, что и(р’) вблизи резонансной точки р — р'
будет тем меньше, чем больше р, т. е. чем больше энергия
частицы Е. Следовательно, наше приближение пригодно при больших энергиях частицы.
'2
х) Точный смысл знака J может быть определен следующим образом:
\F(p, p')dp'= lim { 7 F{pt p')dp'+ \ F(p, p')dp\.
J A-O^Joo р4_д J
Определенный таким способом предел носит название главного значения интеграла.
316
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. XII
В произведенном расчете мы считали, что матричный элемент Wp'p является конечной величиной. Это будет иметь место в случае, если W (х) достаточно быстро исчезает при | х | ->> со, т. е. для этого возмущение должно быть сосредоточено в конечной области пространства (рис. 57). В этом случае, как следует из наших расчетов, энергетический спектр остается непрерывным1), если добавок и мал.
Если возмущение W (х) распространяется на все пространство так, что Wp'p бесконечно, то в первоначально непрерывном спектре могут образоваться разрывы.
В качестве примера приведем возмущение вида
. 2qx\
Рис. 57. Кривые для энергии возмущения W (х).
W(x) = Kcos№*
к ( t 2qx = \ \е л +е
(76.16)
где X и q — некоторые параметры. Вычисляя теперь матричные элементы Wp-p по формуле (76.11), мы получаем
Wpp. = {б (2q + р - р') + б (- 2q + р - р’)}. (76.17)
Подставляя это значение WP'„ в (76.14), мы ввиду наличия б-функций сразу выполняем интегрирование и находим
Ь_1_% + 2?(X)
Ь (X) = (*) •
(76.18)
,E{p+2q)-E(p) ' E(p-2q)-E(p)r
При малых К это будет пригодное приближение, но оно отказывается служить в точках
Е (p±2q) = E(p), p = + q, (76.19)
так как в этих точках при любом А, добавок к обращается в бесконечность.
Чтобы построить приближенно решение для p = ±q, воспользуемся тем, что уровню Е (р) принадлежат всегда две функции ¦фр и г]з!!_р. Самое общее решение, принадлежащее уровню Е (р), будет
Ф° = аг|$ + pijji. (76.19')
!) Если возмущение изображается кривой b (рис. 57), то при достаточно глубоком минимуме могут о0разоваться дискретные уровни (на рисунке это изображено пунктиром). Наш приближенный метод не дает этих уровней, так как он применим лишь для больших энергий Е.
§ 7CJ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННО ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 3)7
где а н р — неопределенные коэффициенты. Если в (76.7) подставить теперь ф° вместо ч|>?, то, повторяя все выкладки, мы получим вместо (76.8)
w <*>•«'>
Подставляя сюда и из.(76.9), умножая на i|)p' и интегрируя по х, найдем вместо (76.10)
и {р') {Е (р') - Е (р)) = е (об (р - р') +
+ Рб (р + р')) - (a+ Р W- Р) (76.10')
и, наконец, вставляя сюда значение WP'P и Wp't-p из (76.17), получим
и (р') (Е (р’) - Е (р)) = г [ссб (р - р’) + рб (р + р')] -
~ 2 [а Р ~ Р’) ^ (— 2<7 + р — р')} +
+ ${6(2q-p-p') + 6(-2q-p-p')}]. (76.10")
Если р -А :Ь q, то мы можем положить 8 = 0 и взять либо 1, Р = 0, либо а = 0, р=1. В первом случае получим прежнее решение (76.18), во втором случае получим решение приближенное к \[У’.
Для p — -\-q имеем из (76.10")
U (р') [Е (р')-Е (<7)] = е [осб (q - р') + рб (q + р')] -
- Y {«[б (3<7 - р') + б (— Ч-Р')] +
+ р [б (q - р') + б (~ - 3q - р')]}. (76.10'")
Для p’ = q левая часть равна нулю и должна равняться нулю также и правая. Имея в виду, что при ^/0 6 (?) = 0, мы получаем
б(0)[есс--~р] = 0 (76.20)
и для р' = — q
б(0)[ер —~а] = 0. (76.20')
Сокращая на 6(0), получаем систему уравнений
еа-?-р = 0, вр-?-а = 0 (76.21)
для определения а и р. Легко видеть, что для p = — q из (76.10") получается опять эта же система (76.21). Система (76.21) однородна. Из равенства нулю ее определителя получаем
, \
318 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XII
а соответствующие решения аир имеют вид а = р для е = + у
и
а = — р для 8:
2 *
В результате для импульса p = ±q мы имеем решения E = E(±q)+г|з+, (*) = a№t? + i|5±?),
E = E(±q) $±q(x) = a($t±q — i№_q).
(76.23) (76.23')
(76.24) (76.24')
Иными словами, в точке p=-±q энергия претерпевает разрыв. Для импульсов, лежащих вдали от р = ±^, как было показано,
8 = 0 и, стало быть, Е = Е(р). На рис. 58 изображена кривая энергии Е в функции р: пунктиром для невозмущенного движения, а сплошной линией для возмущенного. В точках p = ±q получается разрыв величины К. Другие разрывы р = ±2<7, отмеченные на рисунке, получатся при расчете во втором приближении. (Вообще разрыв получается в точках р = ± nq, п= 1,2,3,...) Таким образом получается спектр типа, рассмотренного в § 55, именно, спектр, состоящий из зон дозволенной энергии
‘-А~
ц
от ? = 0 до Е = Е(д)-Т и от
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed