Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. XIII
Величина о (е, 0, ф) будет в этом случае также называться дифференциальным сечением для неупругого рассеяния, отнесенным к интервалу телесных углов dQ и интервалу энергии de. Обычное обозначение: «сечение на стерадиан на единицу энергии».
Заметим, что кроме в, 0, ф эффективное сечение может быть функцией и других параметров, характеризующих столкновение, например, спина частиц.
Во всех случаях с помощью дифференциального эффективного сечения можно дать полную статистическую характеристику процесса столкновения.
Поэтому задача в теории столкновений сводится к вычислению сечения о (е, 0, ф).
Как мы увидим, эта величина в свою очередь вполне определяется амплитудой рассеянных волн.
Оставляя на время вопрос о методах вычисления этой величины в квантовой механике, рассмотрим, в каких случаях следует для расчета столкновения применять квантовую механику, а в каких случаях —классическую механику.
Рис. 60. Столкновение частицы В с атомом А по классической механике (случай отталкивания).
Для этого рассмотрим, как протекает столкновение, если применять законы классической механики. На рис. 60 изображен атом А с центром в О. Вокруг него проведена сфера радиуса а> вне которой силы между атомом А и падающей частицей В малы. Эту сферу мы будем называть сферой действия1). Частица В, двигавшаяся первоначально вдоль оси BZ, попадая в эту сферу, будет претерпевать отклонение так, как показано на рис. 60 (приведен случай отталкивания А и В). Опустим из центра атома перпендикуляр на первоначальное направление движения частицы BZ. Пусть длина этого перпендикуляра есть р. Его называют параметром удара (или прицель-
*) Эта сфера не всегда может быть определена. Например, для закона Кулона (/ = const/г ни о какой сфере говорить не приходится. Сферу действия можно определить лишь в том случае, когда силы достаточно быстро убывают.
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ МИКРОЧАСТИЦ
323
ным расстоянием). Частица, имеющая определенный параметр удара, отклонится на вполне определенный угол 0, так что р = р (6), 6 = 0 (р). Частицы, имеющие параметры удара между р и p + dp, отклонятся на углы, лежащие между б и 0 + d0 (угол ср мы сейчас не рассматриваем, предполагая сферическую симметрию поля атома А). Если представить себе поток первичных частиц, проходящих через площадку в Г см2, то из них отклонятся на углы б, Q + dQ те, которые проходят через кольцо, образованное кругами радиуса р и p + dp. Площадь этого кольца есть 2лр dp (рис. GO).
Поэтому на угол 0, O + dG отклонятся все тс частицы из первичного потока, которые пройдут через площадку 2лpdp (рис. 60). Стало быть, величина 2лр^р и есть эффективное сечение для отклонения на угол 0, О-р^б-
Выражая dp через dQ, найдем дифференциальное эффективное сечение
a(6) = pj-. (77.4)
Это классическое выражение для a (б) не всегда будет применимо к микростолкновениям. Действительно, ошибка в определении параметра удара Др должна быть меньше самого параметра р. С другой стороны, определение р с точностью Др вносит неопределенность в импульс, перпендикулярный к пер-
л 1l
воначалыюму движению Др! ^ , а следовательно, и неопределенность
Ар
Ал Д/?1 и
в угле отклонения Дб == р (р--первоначальный импульс частицы).
Отсюда, имея в виду, что б > ДО, р> Др:
«>-• *-?•
Таким образом видно, что рассмотрение малых отклонений методами классической механики бессмысленно. Для рассмотрения же отклонений, удовлетворяющих условию (77.5), необходимо соблюдение общего условия применимости классической механики, именно, изменения потенциала U (г) на протяжении длины волны X должно быть мало:
1 dU (г) „ . л
Щг) ~7г ^ ^77'6)
Пусть потенциал рассеивающей частицы меняется существенным образом
на протяжении а, т. е. а есть по порядку величины область действия потенциала, или радиус сферы действия. Тогда условие (77.6) может быть заменено более мягким условием
Х<а (77.7)
(см § 36). Длина волны X электронов с энергией в несколько электроновольт равна, по порядку величины, 10-8 см, такого же порядка и размеры области и, внутри которой существенно меняется потенциал с атоме. Поэтому при столкновениях электронов с атомами (77.7) не соблюдается и необходимо применять квантовую механику. При столкновениях a-частиц (Л, —- 10-13 сж) с атомом
условие (77.7) выполнено и можно ограничиться классическим рассмотрением задачи. Однако при столкновениях a-частиц (нуклонов, вообще тяжелых
частиц) с ядром, для которого радиус сферы действия а ~^'10~13 см, опять имеем Х^а, т. е. необходимо квантовомеханическое рассмотрение задачи.
Рассмотрение столкновения лишь с одним атомом, вместо рассмотрения столкновения с совокупностью атомов, образующих газ или жидкое, или, наконец, твердое тело, само по себе является абстракцией, пригодной далеко не всегда. Рассматривая лишь один атоМ, мы предполагаем, что частица до столкновения с атомом движется свободно. В этом — самая сущность
324
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ. XIII
постановки проблемы о попарном столкновении. Чтобы оценить, когда такая постановка вопроса возможна, рассмотрим средний путь (свободный пробег), который частица В пробегает без столкновения в соьокупности атомов, образующих тело.
