Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для определенности рассмотрим лишь упругие столкновения. Введем критерий того, что частица В не взаимодействовала с атомом А (двигалась свободно). В качестве такого критерия будем считать некоторый угол отклонения 0О. Если угол отклонения 0 < б0, то мы будем считать, что частица не отклонилась—двигалась свободно, если . 6 > 0о, то, напротив, будем считать, что взаимодействие имело место. Эффективное а0 для отклонения на углы, большие 0О, равно
а0= \ о (е, 0, ф) dQ. /77 g\
60
Знак Q() показывает, что при интегрировании мы исключаем малые отклонения (0 < 0о). Представим теперь себе поток N частиц В, проходящих через площадку в 1 см2. При прохождении длины dx этот поток пронижет объем (1 см2) dx. Если через п обозначить число атомов в 1 см3 тела (газообразного, жидкого или твердого), то в указанном объеме поток частиц В встретит ti'( 1 CM2)'dx атомов А. Вероятность столкновения с одним из атомов А одной из частиц В при прохождении слоя dx равна
т-— :> п • (1 см2) • dx — о0п dx. (77.9)
1 СМ“
Обозначим через N (х) величину потока неотклонеиных частиц на глубине х внутри вещества. Согласно (77.9) убыль этого потока при прохождении слоя х, x + dx будет
Щ^ = ~Ы(х)о0п. (77.10)
Отсюда находим
N {x) = N(f-0°nx. (77.11)
Стало быть, величина
w (я) = е~°°пх (77.12)
есть вероятность пройти путь х без столкновения. Следовательно, средний свободный путь 7 равен
00
1 = а0п [ е~а°'1Х х dx ---. (77.13)
J О0п
о
Для того чтобы мы и в самом деле могли считать частицу, проходящую путь /, свободно движущейся относительно какого-нибудь из атомов тела, нужно, чтобы свободный пробег был больше сферы действия а. Иначе частица все
время будет находиться в сфере действия того атома, с которым ей предстоит
столкнуться. Таким образом, условие применимости теории попарных столкновений как в классической, так и в квантовой механике есть
7 >а. (77.14)
Если сфера действия а не может быть определена, то применение теории попарных столкновений становится по меньшей мере сомнительным (во всяком случае, для тех столкновений, для которых / мало).
В квантовой механике условие (77.14) должно быть дополнено еще одним условием специально квантового характера. Нас интересуют изменения
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД БОРНА
325
импульса (и энергии) частицы при столкновениях. Состояние с определенным значением импульса р есть волна де Бройля с длиной волны % — 2nfi/p.
Из условия (77.14) следует, что нам нужно рассматривать движение свободной частицы на протяжении свободного пробега /, т. е. мы должны иметь дело с группой волн, размеры которой не превышают I В такой группе, вообще говоря, (Др)2=^0 — это состояние с неопределенным импульсом. Чтобы можно было пренебречь этой неопределенностью (и оперировать тогда с монохроматической волной), нужно, чтобы
В случае невыполнения условий (77.14) и (77.15) необходимо рассматривать столкновение сразу со всей совокупностью атомов А или искать особые обходные пути, которые позволили бы обойти трудности такой прямой постановки задачи.
§ 78. Расчет упругого рассеяния приближенным методом Борна
Ограничиваясь исследованием упругого рассеяния, мы можем не рассматривать внутренней структуры атома1) А. Действие атома А на падающие частицы В можно в этом случае рассматривать как действие силового центра. Если атом обладает сферической симметрией, то поле, создаваемое этим атомом, будет полем центральных сил. Имея в виду именно этот случай, обозначим потенциальную энергию частицы В в поле атома А через U (г) (г — расстояние от центра А до В). Энергию частицы В обозначим через Е. Если считать, что U(r) = 0 при г = со, то мы должны взять Е> 0, так как нас интересует такой случай, когда частица В с энергией Е движется из бесконечности к атому А. Согласно общей теории движения в поле центральных сил такие состояния частицы В возможны лишь для Е> 0.
Обозначая волновую функцию частицы В через я})(л:, у, г), мы можем написать для нее уравнение Шредингера в виде
(|х —масса частицы В). Потенциальную энергию U (г) мы будем считать достаточно быстро убывающей с возрастанием расстояния г от атома А. Введем волновое число
(77.15)
(78.1)
где р — импульс частицы. Обозначим далее
?2 = 2н? = г?
(78.2)
|-U(r) = V(r).
(78.3)
г) Напротив, при расчете неупругих столкновений неизбежно приходится рассматривать структуру атома А, так как при неупругом столкновении изменяется квантовое состояние этого атома.
326 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
Тогда уравнение (78.1) можно переписать в виде
+ = V (г)ф. (78.1')
Решения этого уравнения, принадлежащие энергии Е, очень сильно вырождены и имеют весьма разнообразную форму.
Мы должны взять такие решения, которые соответствовали бы поставленной физической задаче, т. е. чтобы для больших
расстояний от атома А решения г|з были бы совокупностью пло-
ской волны, представляющей поток падающих частиц В, и расходящейся волны, представляющей рассеянные частицы (в общем решении уравнения (78.Г) могли бы, например, присутствовать еще и сходящиеся волны).
Соответственно этому представим ф в виде суперпозиции
