Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
'Ф = 'Ф0 + и. (78.4)
где г))0 представляет поток падающих частиц, а и — поток рассеянных. Считая, что падающие частицы движутся вдоль оси OZ, мы возьмем г[)° в виде
Г = l3=1cmS- (78.5)
Выбранная нормировка функции г|)° означает плотность падающих частиц ; tp0 i2 = 1 слг3:. одну частицу на единицу объема. При этом поток по формуле (29.5) будет равен hli
N — Jz — ¦— | г))012 = v ] ij)012 = v (сек.'1 ¦ см~2), (78.6)
где v = — есть скорость частиц. Функция и, изображающая
Г Г
состояние рассеянных частиц, для больших расстояний г от
центра атома должна иметь вид расходящейся волны:
и (г, 0) = Л(0)е-^, (78.7)
/'->•00 '
где А (0) есть амплитуда рассеянной волны, а 0 — угол между г и 0Z, т. е. угол рассеяния.
Вычислим теперь поток рассеянных частиц на большом расстоянии от атома. Из формулы для потока частиц (29.5) и из
(78.7) следует, что поток рассеянных частиц будет равен1)
Jr = 27 (и d-W - и* %) = ? I А W I2 Ь = VjATTL- (78.8) Отсюда поток через площадку dS будет
dN = JrdS = v\A (0) |2 dQ. (78.9)
J) См. (53.3). Остальные компоненты J,j, /ф в поле центральных сил будут равны нулю (Л (0) действительно!). Заметим еще, что если бы в (78.7) мы взяли c~lkr вместо ел:кг, то мы получили бы сходящийся поток.
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД БОРНА
327
И, следовательно, из (78.9) и (78.6) находим
a(6)dQ = -^ = ! A (Q)l2dQ. (78.10)
Таким образом, для вычисления эффективного сечения а(0) достаточно знать амплитуду рассеянной волны А (в). Чтобы найти рассеянную волну и, мы будем считать V (г) в (78.Г) возмущением и применим для решения уравнения (78. Г) методы теории возмущений1). Подставляя (78.4) в (78.Г) и пренебрегая членом Vu как членом второго порядка малости, мы получим
V*u + k2u=Vy>°. (78.11)
Нам нужно теперь найти решение этого уравнения, имеющее асимптотическую форму (78.7). Вместо разложения и по невозмущенным функциям мы применим для решения (78.11) более прямой метод. Именно, рассмотрим функцию
Ф (г, t) — Фо (г) e~mt, (78.12)
где г — радиус-вектор точки х, у, z, a t будем рассматривать как время, соответственно этому о — как некоторую частоту. Будем далее рассматривать Ф как скалярный потенциал, создаваемый электрическими зарядами, распределенными в пространстве, с плотностью
Р (г, 0 = ро(г)е-'^. (78.13)
Из электродинамики известно, что потенциал удовлетворяет уравнению Даламбера
^ф-^Ж = -41Ф> (78-14)
где с —скорость распространения электромагнитных волн. Решение уравнения (78.14) известно: именно, если брать волны, излучаемые зарядом p(r', t) dv' (мы подразумеваем, что dv'=
--= dx' dy' dz'), расположенным в точке г', то электрический потенциал в точке г в момент времени t равен
р IV. /-!?=!!)
Ф (Г. 0 “ 5 <78-15)
где | г' — г | есть расстояние от точки г', в которой расположен
х) Мы будем, кроме того, предполагать, что V (г) убывает с расстоянием быстрее, нежели 1/г (см. примечание в § 49). Матричный элемент V (г) будем считать конечным, так что из-изложенного в § 76 следует, что спектр Е останется непрерывным.
328
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
|ГЛ. XIII
заряд р dv', до точки наблюдения г. Подставляя в (78.15) Ф из (78.12) и р из (78.13) и сокращая на е~ш, получаем
Ф,
•<гН
ро (Г') е
. . со , ,
+1 v|r
-1-1
г' —г
¦ dv’.
(78.16)
Если мы подставим в уравнение Даламбера Ф (78.12) и р (78.13) и сократим на е~ш, то получим
^2Фо + -2- Ф»--------4лро.
(78.17)
Сравнивая это уравнение с (78.11), мы видим, что (78.11) и
(78.17) совпадают, если положить
Ф0 = и, Po^—fcVr. (78.18)
Отсюда на основании (78.16) можно сделать вывод, что
V (Г') 1|-о (г') е
ik | г'—г |
¦dv'
(78.19)
R(x,y,z)
есть решение уравнения (78.11). При этом у нас уже автоматически учтено, что и содержит лишь расходящиеся волны, так как решение (78.15) есть решение для излучаемых, а не «всасываемых» зарядами волн.
Найдем теперь вид и(г) вдали от атома А. Для этого обозначим единичный вектор в направлении падающего пучка (ось OZ) через п0, а единичный вектор в направлении вектора г через п. Преобразуем сначала | г' — г |. Из треугольника, приведенного на рис. 61, имеем
Рис. 61 Пояснение к выбору векторов.
г' — радиус-вектор от центра атома к электрону, г — радиус-вектор от центра атома в точку наблюдения R (х, у, г), б —угол рассеяния, п0 — единичный вектор по направлению первичного пучка, п - то же по направлению рассеянного пучка.
| г' — г |2 = г2 + г'2 — 2nr V,
где г = | г |, г' — | г' |. Отсюда для г^>г' получаем
|г'-г| = /--пг' + о(у), (78.20)
означает члены порядка -- и выше.
где О
Подставляя |г' — т| из (78.20) в (78.19) и пренебрегая в знаменателе величиной nr' по сравнению с г, мы получаем выраже-
§ 781 ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД БОРНА 329
нпе для и, справедливое для больших расстояний г от атома1):
“(r) = — W~r S e-‘*"rT(r')il)0(r')dv'. (78.19')
Подставляя сюда ip° (г') из (78.5) и имея в виду, что z' = г'п0, мы получаем
И (Г) = — 4Я *—г 5 е'*<п»-п)г' V (г') dv'. (78.21)
Сравнивая (78.21) с (78.7), мы видим, что амплитуда рассеянной волны равна
Л = — 4S J <"•-") rV (О dv(78.22)
Введем вектор
К = ?(п0 — п), /С — ^ | п0 —¦ n 1 — 2^ sin ~ — ^-sin~. (78.23)
