Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда, имея в виду (78.3), получаем
Л (6) = ~ 4Н F $ е‘Кг'и W dv'¦ (78-24)
т. е. амплитуда рассеянной волны пропорциональна компоненте Фурье в разложении потенциала по плоским волнам е'Кг. Подставляя это значение А (0) в (78.10), находим эффективное сечение:
0 (0)=т Ш | $eiKry ^ dv' Г • <78-25>
Эта формула, как следует из ее вывода, приближенна. В теории столкновений это приближение (первое приближение теории возмущений) обычно называют борновским. Мы не можем входить подробно в рассмотрение вопроса о точности борновского приближения и пригодности его в тех или иных случаях. Укажем лишь на то, что интенсивность рассеянной волны | и (г) 2 вблизи рассеивающего центра должна быть мала в сравнении с интенсивностью волны падающей |^°(г)|2. Из формулы (78.19) легко оценить отношение | и |2 к | -ф012, взяв значение этих функций в центре атома (г = 0). Считая, что силы—«центральные, так что V (г') == V (/*'), и полагая в (78.19) г = 0, dv' = r'2dr' sin 0' db' d<p', kr' = ?r'cos0', после элементарного интегрирования по углам б' и ф' находим
и 2\х
фо ” W
sin kr' pikr' / Ar> krf * Г U
(78.26)
При &->oo интеграл справа стремится к 0. Поэтому при достаточно большой энергии частицы (большое k) метод Борна будет всегда пригоден.
*) То есть для r^>at где а —радиус сферы действия.
330 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
§ 79. Упругое рассеяние атомами быстрых заряженных микрочастиц
Полученная нами формула для дифференциального эффективного сечения а(0) применима для расчета упругого рассеяния достаточно быстрых частиц. Далее, наш вывод неявно предполагал, что атом и до удара, и после удара покоится. Если скорость падающих частиц велика, а скорость атома до удара есть тепловая скорость, то последней можно пренебречь. Пренебречь же скоростью после удара можно лишь в том случае, если масса сталкивающейся частицы много меньше массы атома М. Предполагая, что все эти условия соблюдены, вычислим рассеяние
частиц с массой \i и зарядом ег. Обозначим через — ер(г") =
= —ер (г") плотность электрического заряда, создаваемого роем электронов атома в точке г" (предполагаем сферическую симметрию р, а через Z — атомный номер. Тогда электрический потенциал в точке г будет
/ v Ze С р (г") dv" /7П
4>(г) = у -е ^ ^-сгг—, (79.1)
а потенциальная энергия частицы в таком поле будет равна
и (г) = ед (г) = ^ - еег $ • (79-2)
Подставляя это значение U (г) в (78.24), получаем
А <“> = -1 ж Г"?- +1S J ^ dv' $ т?ггт ¦ <79-3>
Входящие сюда интегралы рассмотрим порознь. Для этого заметим, что интеграл
ф(0=$ |Р_гЧ dv’ (79.4)
может рассматриваться как потенциал, создаваемый в точке г" электрическими зарядами, распределенными в пространстве
с плотностью р(г') = егкг'.
Потенциал ф(г') удовлетворяет уравнению Пуассона
\?2ф (г') = — 4яр (г') == — 4яе‘Кг'. (79.5)
Из этого уравнения сразу находим ф (г'):
ф(0 = ткТ, I К12=;К1 + К1 + К1 (79.6)
Из сопоставления (79.4) с первым интегралом в (79.3) следует,
§ 791 РАССЕЯНИЕ АТОМАМИ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ МИКРОЧАСТИЦ 331
Для второго, двойного интеграла получаем
'• = S S - W» <r’> S тг^т ^ -
= 5 dy"р (г")^?5- = ^ J dt> Р (г) е'Кг. (79.8)
Для выполнения интегрирования в (79.8) возьмем сферическую систему координат с полярной осью, параллельной Ккгогда
dv = r2drsmQdbd(p, Kr = /Ocos0.
Получаем
2л
^ dv р (г) е‘Кг = ^ р (г) г2 dr ^ dcp ^ eiKrcosB sin 0
dQ.
Вводя переменную cos0 = g, легко выполняем интегрирование по | и <р и получаем
ОО
^ dv р (г) eiKr = 4я ^ р (г) гг dr. (79.9)
о
Подставляя (79.9) в (79.8) и (79.7) в (79.3), мы находим окончательное выражение для А (0):
А (0) =~ Ш % [Z ~ 4п \ р W r2drj • <79-10)
Имея в виду, что
/(2 = 4fe2sin2| = ^-sin2|-
где и —скорость частицы, и обозначая
ОО
f (0) = 4л J EL(*?> р (r) r2 dr> (79 ! 1}
находим окончательно
A^—$J^z~F (6)} cosec21. (79.12)
Величину F (0) называют атомным фактором. Эта величина, как мы видим, определяет рассеяние электронов по углам. Заметим, что эта же величина определяет и рассеяние рентгеновских лучей.
Из (79.12) находим дифференциальное эффективное сечение для упругого рассеяния электронов с энергией Е в область угла 0:
* (8) = 4e^iZ~F (S)P cosec4 Т • (79‘13)
332 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
Чтобы эта формула стала более конкретной, сделаем простое предположение о плотности ер заряда электронного роя. Именно, предположим (это соответствует выводам квантовой механики), что р экспоненциально спадает с увеличением расстояния от центра атома
Р = РоеЧ (?9Л4>
где а —«радиус» атома. В целом атом нейтрален, поэтому
$р dv^Z; (79.15)
отсюда находим Ро = §^з- Следовательно,
e-sib^- <79Л6>
Вычислим теперь атомный фактор
оо со g
F (9) = 4я $ р (г) г2 dr - ^ jj г К* sin м dl,
о о
где \ = Кг. Последний интеграл легко вычисляется:
со
^ г *ssin I. i я= М« <«*-**> г <ч “ jrfim-
6 о
Отсюда
F (®) = п л. /Г202\2 = ~т nTsT (79.17)
и, следовательно,
°(в)-^",(1 C0SeC*’' <79Л8)
Для быстрых частиц ka^> 1, поэтому в (79.18) для не слишком малых углов рассеяния можно пренебречь вторым членом выражения в скобках по сравнению с единицей. Тогда получается
