Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 55 приведена схема расщепления уровней:
2Sl/2(/=4- /==0)’ ^1/-’(/.=4. /=1) » 2^3/2 (/ = J, /=l).
При большем поле сложное расщепление упрощается
и получается рассмотренное выше (рис. 46). Это явление упрощения расщепления спектральных линий в магнитном поле при переходе от слабых полей к сильным наблюдается на опыте.
§ 75. Наглядное толкование расщепления уровней в слабом магнитном поле (векторная модель)
Полученная нами формула (74.23) для расщепления квантовых уровней в слабых магнитных полях может быть наглядно истолкована в терминах векторной модели. В магнитном поле квадрат полного вращательного момента J2 и его проекция па
магнитное поле Jz являются интегралами движения. Вектор же полного мр-мента J не является интегралом движения. Именно, вектор J прецессирует вокруг направления магнитного поля так, как это показано на рис. 56.
Если связь между орбитальным движением и спином велика, то относительная ориентация вектора спина s и вектора орбитального момента Mt сохраняется, но оба они прецессируют вокруг полного момента J. Добавочная энергия W в магнитном поле равна энергии магнитных диполей с моментами
— -тг-М/ и — — SB поле Э*в\
2 \хс 1 цс
Рис. 56. Прецессия полного момента J вокруг направления магнитного поля.
w = 2,ГС №№ + = + °l (J; + s..).
(75.1)
Нам нужно пайтп среднее значение величины W. Jz имеет постоянное значение. Напротив, sz есть переменная величина,
§ 7G] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 313
поэтому для вычисления среднего значения W нужно вычислить среднее значение sZ9 имея в виду, что вектор s участвует в двух прецессионных движениях: вокруг вектора J и вместе с J вокруг направления магнитного поля (0Z).
Так как
s, = scos(a?, s), (75.2)
то нам нужно вычислить среднее значение cos (Ж, s). Из рис. 5G видно, что
cos {X, s) = cos (s, J) cos (J, 3€), (75.3)
т. e.
s, = s cos(s, J) cos (J, M). (75.4)
Ho
cos(J, 96)=J-f, (75.5)
и из треугольника со сторонами J, М, s получаем
sJ cos (s, J) = (sJ) = -2-(y2-M2 + s2). (75.6)
Из этих формул получаем
s*=2'jk(J*-M* + s*). (75.7)
Подставляя 5г в выражение (75.1) для энергии W, находим
W = 0L (У. + SZ) = 0Lh(1 + ¦ (75.8)
Если в этой формуле понимать под У-, У2, Л42, s2 их квантовые значения (74.22), то из (75.8) мы получим квантовую формулу (74.23).
§ 76. Теория возмущений для непрерывного спектра
Мы обратимся теперь к тому случаю, когда невозмущенная система имеет непрерывный энергетический спектр. Обозначим гамильтониан этой системы через Н°, собственные функции, принадлежащие уровню энергии Е, через тр?. Уравнение Шредингера в этих обозначениях имеет вид
Н°$е — ЕЩ • (76.1)
Допустим, что на эту систему действует возмущение W. Уравнение Шредингера для возмущенной системы тогда имеет вид
+ = (76.2)
314 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XII
Если возмущение таково, что оно не нарушает непрерывного характера спектра оператора Я0, т. е. оператор Н имеет также непрерывный спектр, то все действие возмущения сводится к изменению вида собственных функций, принадлежащих уровню Е. Вместе с тем задача теории возмущения сводится в этом случае к нахождению функций г^, которые при малом возмущении W могут мало отличаться от функции Возможен, однако, и другой случай, когда возмущение W приводит к образованию разрывов в непрерывном спектре. Тогда в задачу теории возмущения входит не только определение измененных волновых функций, но и определение положения и величины разрывов в первоначально непрерывном энергетическом спектре Е.
Оба эти случая мы рассмотрим на простом примере частицы, свободно движущейся вдоль оси ОХ. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
<7б-з>
и имеет собственные функции и собственные значения
?т
«-тз* <76'4)
Возмущенное уравнение напишется в виде
+ = (76-5)
так что W (л-) есть добавочная потенциальная энергия. Значок штрих у Е присоединен на тот случай, если спектр возмущенной системы изменится. Без всяких ограничений мы можем положить
?' = ? + 8, (76.6)
^ ='Фр (*)-!-“ (*)• (76.7)
Однако, считая возможным применить теорию возмущений к решению уравнения (76.5), мы будем считать, что |е|^?,
Iи (х) I ^ | "Фр С*) |> и будем пренебрегать произведениями sW, ей, uW как величинами второго порядка малости. Тогда подстановка
(76.6) и (76.7) в (76.5), учитывая (76.3), дает
-1 ё~Еи=Г8- w W1 V» W- <76-8)
Представим и (х) в виде суперпозиции невозмущенных состояний
+ 00
и (х) = ^ и (р) ij$ (х) dp. (76.9)
— со
§76] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 315
Подставим теперь (76.9) в (76.8), умножим (76.8) на (лг) и проинтегрируем по х. Имея в виду, что
lVp№dx = 6(p'-p),
мы получим
и (р') - Ей (р') = еб (р' - р) - wp,p (76.10)
(уравнение (76.8) в «/^-представлении). Здесь
У р'р = $ Гр* (х) ^ (*) Гр (х) dx=±^W (х) dx (76.11)
есть матричный элемент в «/^-представлении. Из (76.10) находим
и<п') е6(Р-Р')-^Р (7Rm
и'р' Е(р')-Е(р) (76.12)
В точке рг — р знаменатель (76.12) обращается в нуль. Если мы возьмем ет^О, то мы получим и (р') ос • б (р'—р), и наше решение ни в коем случае не будет приближением к г|)р. Поэтому следует положить е = 0, т. е.
