Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Тензорный анализ полезен при определении критических точек функции распределения частот фононов. При этом применяется теория возмущений для вырожденного случая, приводящая, как всегда, к секулярному уравнению. Основные матричные элементы в этом уравнении можно определить с помощью теоретико-группового анализа.
Существуют многие другие применения теории симметрии в задаче классической динамики решетки; некоторые из них мы кратко обсудим (например, вычисление силовых постоянных, которое подробно выполнено в работах [4, 68]; вычисление других кристаллических инвариантов и ковариантов). В частности,
Применение теоретико-группового анализа
299
электрический момент и поляризуемость понадобятся нам при рассмотрении инфракрасных спектров и спектров комбинационного рассеяния света в т. 2, § 5 и 6.
§ 106. Тензорный анализ в динамике решетки
Мы будем рассматривать величины, похожие на возникающие в квантовой механике матричные элементы операторов и волновые функции. Для этого мы найдем соотношения, аналогичные так называемой формуле Экарта — Вигнера [1, 2, 81].
В формулах (79.8) — (79.11) были определены два вида скалярных произведений рассматриваемых собственных векторов. В нескольких последних параграфах мы доказали, что эти собственные векторы являются базисом для неприводимых копредставлений группы JF. Это позволяет развить теорию несколько дальше. Рассмотрим сначала унитарные элементы симметрии, т. е. вначале -мы будем считать, что собственные векторы образуют неприводимое представление группы ©.
а. Роль унитарных элементов. Рассмотрим действие унитарных операторов симметрии на матричные элементы или скалярные произведения величин, свойства преобразования которых определены группами % и % (k) а, следовательно, группами ® и ®(k). Наша задача — научиться определять в таких случаях отличные от нуля матричные элементы. Если они не равны нулю, то мы найдем минимальное число независимых «основных», или «приведенных», матричных элементов, через которые выражаются нужные нам матричные элементы [82].
Рассмотрим теперь произвольный вектор X в Зл-мерном пространстве (а, к); такая величина имеет 3г компонент, нумеруемых индексами а = 1, 2, 3 и к = 1, ..., г. Тогда, если X и г — два таких вектора с компонентами Ха{%) и Ya(x,), то му определим эрмитово скалярное произведение
(X, У)^1х
ч, а
В частности, рассмотрим
(¦(ID
где
' *(l?)m
и является базисной функцией для v-й строки неприводимого представления. Рассмотрим преобразование скалярного пройз-
а(хУУа(х)эаХ-У. (106.1)
k'
¦ *(,))¦
(106.2)
гносится к ?)<*>(/) (106.3)
300
Глава 10
ведения (106.2) при преобразовании собственного вектора под действием унитарного оператора | из группы ®(к). Так
как преобразование с. помощью унитарного оператора соответствует геометрически преобразованию к эквивалентной координатной системе, то скалярное произведение, которое является числом, должно оставаться неизменным. Рассмотрим сначала чистую трансляцию
*.))=
= ), е(|* )). (106.4)
Теперь просуммируем обе части (106.4) по всем элементам группы ?. Так как порядок 2; равен N, то, согласно (24.8), имеем
I адг ?>**'» ({в I Jti» х
X (е (11в (| X )) “ ^ (е (11) ¦в (10 )) •(1 овВ)
Следовательно, скалярное произведение (106.2) не равно нулю, только если
ki=k', т. е. k = k' + 2nBH. (106.6)
Пусть тогда к = Ы. Рассмотрим преобразование собственных векторов поворотным элементом группы ®(к):
(е(|*)'е(|й))“'’•»>*(I*)' I¦»>*(II))''
(106.7)
Используя (83.6) и суммируя результат по всем элементам группы ®(к), после применения условий ортогональности и нормировки для неприводимых представлений группы ®(k) получаем
/ СI к \ (I k \\
Применение теоретико-группового анализа
301
или
где
Из (106.8) следует, что скалярное произведение (106.7) не равно нулю только при / = / и v = v' и, кроме того, не зависит от v. Объединяя (106.8) и (106.5), получим в общем случае
(*( | * ) , е' ( | * )) = A {k — V) 61ГЬ,Л (k, /), (106.9)
,«*.Я_(.(|*).^(|*)) (106.Ш)
— приведенный матричный элемент. В соответствии с обычными
условиями нормировки (79.10), (79.11) для векторов е( . )
V I 1\1 ’
(\k Л
т. е. длины вектора el . I , для случая, рассмотренного в
VI !р /
(106.2) — (106.8), получаем /(&,/) = 1. Общее рассиотрение скалярного произведения типа (106.9) приводит к формуле, напоминающей формулу Вигнера — Экарта для матричного элемента. В этом случае f(k,j) играет роль приведенного матричного элемента, который следует определить.
Рассмотрим скалярное произведение
Z Z (* I jv) ( кн') (*' |) ’ (106,11]
которое можно записать в виде
(e(|t)-D№,e(|l))’ 006Л2)
если учесть, что
(106лз)
Если (106.12) преобразовать с помощью оператора группы ©(ft), то, учитывая (81.33), (106.9), (106.10), получим
/ /1 k \ / I * \\
302
Глава 10
Согласно уравнениям движения (79.7), приведенный матричный элемент в (106.14) равен
с (к-, ;) = <о2(*|;'). (106.15)
Если j относится к группе © (k), то он не зависит от v,
что соответствует (81.32).
Ясно, что характер результатов, собранных в (106.10),
(106.14), зависит от вычисления скалярного произведения
