Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Если индексы к и Хфх относятся к атомам, занимающим одинаковое положение в элементарной ячейке, т. е. относятся к одной трансляционной решетке Бравэ в кристалле, построенном из нескольких эквивалентных взаимопроникающих решеток Бравэ, jo (ЛХ)р (хфл j k) = (ЛА)р (к | k). Следовательно, в (104.12) содержится отличный от нуля вклад в характер представления, базисом которого является Зг-мёрное векторное пространство
(104.3). Из (104.11) ясно, что мы сразу получим характер (след) представления D(k) (Д). Для операции {фа,|#*} он равен
декартовы
('V* I w “). (*)-(“"' Л. ( * ) - Z<р«в <“>» ( **) ¦ <10«>
3
Тогда повернутый блоховский вектор будет равен
(“«). “ уГ Z ‘“'Ч («(«»).(')-
<гм-9>
Ч>я, 1 ‘ 4>я,1 ‘
Rl = Ф*. • + tK.
(104.10)
(104.11)
Тогда
(ДХ{,х})в (**!*)“
= е16'^ {4>х}ар (Д*)р К I *)• (104Л2)
15
г
Sp D(k) (Д) ({фх | **}) = ± е1Л‘*ь (1 + 2 cos Фя) ? Ьх, . (104.13)
' • х-1 ^
294
Глава 9
Здесь
{1, если и и относятся к одному и
тому же атому ячейки, (104.14)
¦
0 во всех прочих случаях.
Сумма дает число атомов в элементарной ячейке, либо остающихся неизменными, либо преобразуемых в атомы той же решетки Бравэ. Остальные множители в (104.13) возникают из трансляционного фазового множителя в (104.12) и из следа поворотной матрицы. Применяя (104.13) для каждого элемента или представителя смежного класса в ®(k)/%,(k), мы получим полную систему характеров %<*>(Д). Эта система эквивалентна (103:4) и, следовательно, (82.21), что совсем неудивительно, так как обе системы получены одним и тем же способом. Однако базисное пространство 2(*)(Д) более удобно на этой стадии вычисления координат симметрии.
Напомним, что в (82.19) было показано, что D(k)e) есть прямое произведение; следовательно, Dw (Л) тоже является прямым произведением:
?)(*) (Л) = ?)W ® ?)(перест)_ (104.15)
Следует отметить также, что ?)(перест) является обобщенной матрицей перестановок с элементами Z>(*> ({е j — /?дг}), расположенными в виде строки или столбца. Юна устанавливает связь с
волновым вектором k. Чтобы получить правильно линейные комбинации основных декартовых смещений в пространстве нужно выполнить приведение ?)(*)(Д) и определить для этого такую матрицу U, что
U~lD(l>u&)l/ = Z)(*)("-, (104.16)
где D{k) (Л) имеет полностью приведенную форму:
д(*)(Л) = д(*>(/>0 0?(*мл (104.17)
причем (104.17) содержит все неприводимые представления группы ®{k). Преобразованное базисное пространство, соответствующее (104.17), тогда имеет вид
... (104.18)
Задача сводится при этом к определению U.
Напомним, что из формул (103.2), (103.3) нам известно, какие типы неприводимых представлений ?<*></) могут появиться при выполнении приведения (104.17). Для каждого типа / неприводимого представления, для которого
(104.19)
Симметрия и классическая динамика решетки
295
мы можем сразу найти правильные линейные комбинации, применяя оператор проектирования для /-го допустимого представления группы ®(k). Если мы рассматриваем элементы группы ©(ft), то эти операторы можно взять из (16.3) или (16.5). Назовем эти операторы Р<*> </). Тогда
p(k) </)2(ft) (Д) и)' (104.20)
Оператор проектирования естественно, известен из всего
предшествующего теоретико-группового анализа.
Если с/ > 1, то применение оператора пректирования P(k) и к различным базисным векторам в <Д) (т. е. к различным декартовым компонентам единичных смещений атомов) дает несколько линейно-независимых пространств одинаковой симметрии Их правильные линейные комбинации
a,S(4) (/) + a2Sw (/) + ... (104.21)
можно найти только при решении данного динамического уравнения, за исключением некоторых простых, но важных случаев.
Примером такого особого случая может быть точка k = Г =
— (ООО), если имеется более чем одно колебание акустического типа с одинаковой симметрией. Тогда акустическое колебание (со2 = 0), очевидно, определяется тремя векторами со следующими компонентами:
е?)(Л, = { ДГ(1|Г), 0, 0, АХ (2 | Г),
• (104.22)
^Г)(Л) = {0, 0, AZ (1 ! Г), AZ(r‘ |Г)>.
Еще одно колебание типа Г с такой же симметрией и со2 (Г | /) =^= 0
можно полностью Определить с помощью оператора проектирования и требования ортогональности различных колебаний (аналогично § 47).
Возможна еще одна полезная процедура определения U, основанная на том, что D(neрест) является матрицей с размерами г X г [78—80J. Поэтому мы сначала ищем матрицу 5' и? осуществляем приведение ?Иперест), так что
y-l^nepecT)^ = д(перест^ (104.23)
затем находим матрицу 5", такую, что
S"~lD{r)S"= D{r), (104.24)
где матрица с чертой молностью приведена по отношению к
группе ®{k), и, наконец, находим (104.16). Такое последователь-
296
Глава 9
ное приведение очень удобно. В частности, можно записать
^(перест) = D(k) (7) 0 _ < 0 Q(k) (?) (104.25)
через неприводимые компоненты по отношению к ®{k) (снова используя известные величины суФ 0) и затем прямым вычислением найти матрицу S', осуществляющую приведение. Так как векторное представление D(r) оказывается приведенным для @(fc),_TO получение окончательного неприводимого представления Dw (Л) уже является совсем простой задачей; в крайнем случае можно воспользоваться коэффициентами Клебша — Гордана, если они известны [51—54, 58]. В этой книге имеется обсуждение коэффициентов Клебша — Гордана в § 18, 60, 134.
