Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Подставим (106.42) и (106.43) в (106.41), просуммируем по унитарным элементам группы s{k) и воспользуемся соотношениями ортогональности и нормировки. Тогда получим
относится теперь к v-й строке ко-
\
Дальше можно просто повторить все шаги, приводящие к
и
/)(«*)(/) (а) ?<*)(/) („) P(lv и
Vu' fW*
(106.42)
(106.43)
Применение теоретико-группового анализа
309
Но р — унитарная матрица: поэтому (106.44) преобразуется к виду
(106.45)
(106.46)
Следовательно, из (106.47) независимо от индекса v получаем
Скалярное произведение в этом случае оказывается вещественным и отличным от нуля только для функций, относящихся к одной и той же строке неприводимого представления. Таким образом, в случае А наличие антиунитарного оператора симметрии делает скалярное произведение вещественным. Это еще одна дополнительное условие, накладываемое на f(k,j), кроме (106.9). Если бы мы начали вычисления с двумя собственными векторами, относящимися к одной и той же строке представления ?)(соь)и)г то части вычислений, приводящих к (106.48), можно было бы избежать.
Для собственных векторов класса В напомним результаты, полученные для унитарной группы. Матрицы класса В даются выражениями (98.14), (98.18). Поэтому в (106.40) и (106.41) мы будем различать два случая:
при v = 1.........li и при v = lj -f 1, ..., 21].
Из (98.18) для v = 1, ..., I/, v = lj -f- 1, ...,2lj имеем
D(co ь) и) (a)_^ _ D(k) u) (a-iuao)*v, - (106.50)
а для v = lj + 1, ..21 j, v= 1, ..., lj получаем
(a).v = ?)(*)(/) (ua2^t - (Ю6.51)
f • • • >
Отсюда следует, что скалярное произведение
k \ /1 k
310 Глава 10
при v<fy записывается через скалярное произведение при v > If.
“ЕЕ («,-'«< D»>» X
x(*(|D-*(ID)‘L,- <,об'и>
Суммируя по унитарным элементам ©(&), получаем
g<*)G(ID','(ID)L,“
<ш6-5з>
или
h
(€)-(PL-?(4‘HP‘
lj V I - v iv |$> f
Аналогично для второго возможного случая в (106.49) получаем
(106.54)
h>lj ч I v I Iv<Ij
Из (106.53) и (106.54) мы получаем,
(‘(I*)’
v = 1.....I,. (106.55)
(e(|vv)’e(k+v )) = r(k>i)’
Отметим, что (106.55) не зависит от индекса v. Таким образом, как показано в случае В, скалярные произведения должны быть комплексно сопряженными.
Перейдем к случаю С и используем (98.51), (106.40) и
(106.41). Снова ограничимся диагональным базисом, следующим из рассмотрения унитарных элементов. В этом случае получим
Д(со *>(/) (а)*, = (?><*>(/) (и) P)?v, v = 1If, v = lj + 1, .. ., 2 If,
(106.56)
Применение теоретико-группового анализа
311
D{cok)U) (fl)w = ( - DW(/) (и) p)9v, (106.57)
V lj “J- 1 У . * . у 0,1 jy v 1, * . • , lj.
Подставляя эти соотношения в (106.40) и (106.41), получим
(•(1Й-(Ю)Ц-
=11I °т” <“>,л.°',ил «а. («(I *) ¦•«(I)))’ •
VV' цц,' 'IV
(106.58)
Беря сумму по унитарным элементам и группы ®(k) так же,
как мы делали при получении (106.55), мы установим анало-
гично (106.55) соотношение между скалярными произведениями при v <; lj и v >
Суммируем результаты. Наличие элементов антиунитарной симметрии в группе и тот факт, что собственные векторы относятся к неприводимым представлениям группы, приводят к условиям вещественности матричных элементов типа (106.48) и
(106.55).
Чтобы продвинуться дальше, мы должны рассмотреть более общий матричный элемент типа (106.20). Затем каждый из сомножителей в (106.20) должен рассматриваться в качестве базиса соответствующего копредставления. Таким образом, произведение
D<co‘"><m>® ?><со*'><л (106.59)
должно быть приведено к прямой сумме копредставлений (обобщенная теорема Машке). Когда получены правильные линейные комбинации либо с помощью коэффициентов Клебша — Гордана, либо с помощью операторов проектирования, можно найти скалярное произведение, которое и является приведенным матричным элементом. Возникает только некоторое ограниченное число приведенных матричных элементов, которые равны коэффициентам приведения:
(cokj\cok"m, cofc'f) 0. (106.60)
Правила вычисления такие же, как в случае унитарных элементов, но мы не будем обсуждать подробно разные случаи и
сошлемся на соответствующую литературу1 [§4]. .Используя свойства копредставлений, полученные в § 98, можно рассмотреть все случаи.
Снова* следует подчеркнуть, что при выполнении полного анализа матричных элементов метод подгруппы может
312
Глава 10
применяться только при соблюдении соответствующих предосторожностей. Это, в частности, надо иметь в виду, развивая теорию копредставлений. Безопаснее, хотя и более трудоемко, работать методом полной группы.
Некоторые примеры дополнительных правил отбора, обусловленных антиунитарными элементами симметрии, будут приведены ниже. , -
§ 107. Критические точки
а. Теория представлений для критических точек, обусловленных симметрией. В предшествующем рассмотрении мы интересовались собственными значениями и собственными функциями динамической матрицы при определенных значениях волнового вектора k в зоне Бриллюэна. В зависимости от более высокого или более низкого порядка групп ®(k) u9(k), соответствующих данному k, при рассмотрении существенного вырождения, при получении симметризованных собственных векторов и матричных элементов симметрических операторов и т. п. оказалось возможным выполнить различные упрощения и установить классификацию.
